复变函数与积分变换习题解答.doc

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练****一
1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。
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（1）；
解：
=
（2）
解：
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2．将下列复数写成三角表示式。
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1）
解：
（2）
解：
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3．利用复数的三角表示计算下列各式。
（1）
解：
（2）
解：
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z3
z2
z1+z2
0
4．.设三点适合条件：=0，是内接于单位圆=1的一个正三角形的项点。
证：因所以都在圆周又因=0
则，所以也在圆周上，又所以以0，为顶点的三角形是正三角形，所以向量之间的张角是，同理之间的张角也是，于是之间的张角是，同理与，与之间的张角都是，所以是一个正三角形的三个顶点。
5．解方程
6．试证：当时，则。
证：
7．设是Z的辐角），求证
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证：
则
当时
故
当时，同理可证。
*8 .思考题：
（1）复数为什么不能比较大小？
答：复数域不是有序域，复数的几何意义是平面上的点。
（2）是否任意复数都有辐角？
答：否，是模为零，辐角无定义的复数。
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练****二
0
i
y
1．指出满足下列各式的点Z的轨迹是什么曲线？
（1）
解：设 则
则点Z的轨迹为：
（2），其中为实数常数；
解：设 则：
y
则：
0
b
若： 则轨迹为：
若： 则
轨迹：
若： 则无意义
（3），其中为复数为实常数。
解：由题设可知：
即：
若：，则Z的轨迹为一点-，
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0
y
(1,1)
(-1,-4)
若：，则Z的轨迹为圆，圆心在-，半径为
若：，无意义
2．用复参数方程表示曲线，连接与直线段。
解：
则
3．描出下列不等式所确定和区域与闭区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连域还是多连域？并标出区域边界的方向。
0
y
（1）
解：由，得
又，得
有界，单连域
0
x
y
-1
1
（2）
解：令
由
即：
无界，单连域
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y
（3）
3/5
x
解：令 则：
无界，多连域
v
4．对于函数，描出当在区域内变化时，的变化范围。
解：令
则
0
u
则

的变化范围在第2,3象限,但不包括虚轴
。
证：=
令 则：上述极限为不确定，因而极限不存在。
*
（1）怎样理解复变函数？
答：设就是

即 因此，一个复变函数与两个实变函数和相对应，从几何意义上来说，复变函数可以看作是平面上的点集到平面上的点集上的映射。
（2）设复变函数当时的极限存在，此极限值与z趋于所采取的方式（取的路径）有无关系？
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答：没有关系，以任意方式趋于时，极限值都是相同的，反过来说，若令沿两条不同的曲线趋于时极限值不相等，则说明在没有极限，这与高等数学中的情形是类似的，只是一元实函数中，只能从左、右以任何方式趋于，而这里可以从四面八方任意趋于。
练****三
1．用导数定义，求的导数。
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解：

当时，导数不存在，
当时，导数为0。
2．下列函数在何处可导？何处不可导？何处解析？何处不解析？
（1）
解：
当且仅当时， 满足条件，故当时可导，但在复平面不解析。
（2）
解：令
则
因在复平面上处处满足条件，且偏导数连续，故可导且解析。
3．设为解析函数，试确定的值。
解：由条件可知： 所以
又 所以
即
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