解线性方程组的迭代方法.ppt

解线性方程组的迭代方法
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定义:设｛xk｝是Rn上的向量序列，
又设x*＝（x1*，x 2*,…，x n*)Ｔ是Rn上的向量.
则称向量x*是向量序列｛x k｝的极限 ，
若一个向量序列有极限,称这个向量序列是收敛的.
向量序列的极限
如果
向量序列｛x k｝收敛于向量x*的充分必要
定理1
（i =1,2,…,n）
条件是
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矩阵序列的极限
定义: 设｛Ak｝是
则称矩阵A 是矩阵序列｛A k｝的极限，记为
若一个矩阵序列有极限,称这个矩阵序列是收敛的.
使得
矩阵序列｛A k｝收敛于矩阵A 的充分必要
定理2
（i, j =1,2,…,n）
条件是
这里
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证：
依次取 x 为 ，其中
则
所以
定理3
的充要条件是对任何x∈Rn，有
设矩阵
定理4
，则 的
充要条件是ρ( A) < 1
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证：矩阵A 相似于其Jordan标准型,即存在可逆矩阵P, 使得
J 为对角分块矩阵( Ji 称为Jordan块):
其中:
ni 为特征值λi 的重数, 且 n1+n2+…+nr= n
由于
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所以
而
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一、简单迭代思想
设矩阵A可逆，把矩阵A分裂为
则
迭代过程
B称为迭代矩阵。
给定初值 就得到向量序列
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定义：若 称简单迭代法收敛，否则，称逐次逼近法不收敛或发散。
问题： 是否是方程组 x = B x + f 的解？
结论1：任意给定初始向量 ，若由迭代公式(1)产生的迭代序列收敛到 ，则 是方程组
x = B x + f 的解。
证：
又如何判定所给迭代格式(1)是否收敛哪？
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迭代法收敛的条件
定理1：对任意初始向量 ，由（1）得到的迭代序列收敛的充要条件是迭代矩阵的谱半径
证：
因此
结论2：设矩阵 ，则
注：要检验一个矩阵的谱半径小于1比较困难，所以我们希望用别的办法判断迭代格式是否收敛。
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定理2：若迭代法的迭代矩阵满足 （矩阵的某一种算子范数），则迭代格式 产生的序列 收敛于x = B x + f 的精确解x*，且有误差估计式：
证：由定理1、结论1和 知迭代格式产生的序列收敛于 x = B x + f 的精确解 x* 。且
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