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复变函数泰勒级数展开.ppt

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泰勒级数展开
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泰勒级数展开
通过对幂级数的学****我们已经知道一个幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解析函数。现在我们来研究与此相反的问题，就是：任何一个解析函数是否能用幂级数来表示？这个问题不但有理论意义，而且很有实用价值.
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其中z在C的内部,，而
在C上取值, C取逆时针正方向. 故
从而
因为
根据
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将函数展开成泰勒级数的方法
在的邻域上把展开。
解：函数的各阶导数而
故在领域上的泰勒级数写为
易求收敛半径无限大
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在的邻域把和展开。
解：函数的前四阶导数分别为
由上可见其四阶导数等于函数本身，因此其高阶导数是前四阶导数的重复。
且在有
故有
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同样的方法，可求得在邻域上的泰勒级数
容易求得上面两个泰勒级数的收敛半径为无限大。
即 Z在全复平面上取值只要有限，上面两个级数就收敛。
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