离心率问题的解题策略及方法.doc

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离心率问题的解决策略及方法
河北省正定县第一中学-----赵志军
离心率是圆锥曲线的一个重要知识点， 同时也是也是圆锥曲线的重要几何性质， 是刻画
椭圆扁平程度，双曲线形状扁狭还是开阔的一种量度， 纵观近几年高考， 求离心率的值或范
围的问题在高考中屡见不鲜 ，其表现是：题型多样，解法灵活 •本文介绍一些常用的方法，
供同行参考。
1. 定义法
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利用圆锥曲线的统一定义，知离心率 故可以把一二定义结合灵活解决一些问题。
e是动点到焦点的距离与到其准线的距离之比。
5
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5
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,, F2是离心率为
e的双曲线
2
x
~2
a
b2
=1的左右焦点,
若在双曲线的左支上存在点
5
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5
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P,使PF,是PF2与点P到左准线的距离 d的等比中项，求双曲线的离心率e的取值范围
5
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5
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PF,
PF2
与 d 的等比中项等价于
PF2 PFi —T = =e
PF, d
PFi =ed (1),
2
PF2 = e d (2),又 因 为
q a
PF, - PF2 =2a,. e2d -ed =2a,. d = 2 =
e -e
2a
~~2
e - e
a2
（左支上的点到准线的
5
#
5
#
2
最小距离为 a-— ) . e2-2e-1_0 ( e>l),解得 1<e _ • 2 1
c
此题也可这样来解:
由双曲线的第二定义,
PF1
PF2
d
PF1I
知
二 e，即 PF2 =ePF1
(1)
又由双曲线的第一定义，得pf2 - PF1 =2a (2),由(1 )( 2 )解得
2a 2 ae
PF1 =——,PF2〔=——=在 APF1F2 中，PF1 +|PF2 TF1F2,当 F1,P,F2 三点共线时， e—1 e—1
2a 2ae c -
PR + PF2 = RF2 二 ——+——>2c (3 厂「e= —门(3)式可化为二 e2—2e — 1^0 解 e—1 e—1 a
得1 -、.2 ^e乞1 •、、2 e 1 , 1 2,即双曲线的离心率 e的取值范围是
通过构造离心率e
点评：本题的两种解法巧妙的将双曲线的第一与第二定义结合起来, 的不等式，从而顺利实现求解目的 •
2. 公式法
圆锥曲线离心率的公式为 e = C
a
h 3x，则它的离心率可能是
A. 3
B. 2
C.--或 2 D.
3
解析：由题意可知双曲线的焦点不确定，所以应有
（i）,或匕=丄
a a . 3
(2),由(1)
得一=J — | +1 =2，由（2）的一=

，故选C
3
例3，已知Fi,F2是椭圆的两个焦点，过 Fi且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于
A、B两点,
若厶ABF?是正三角形