浅谈因式分解的几种方法(论文).doc

因式分解常用的几种方法摘要:数学中的一些美丽定理具有这样的特性:它们极易从事实中归纳出来,但证明却隐藏的极深——高斯。因式分解,它或许很普通,但它往往能使我们进一步地了解数学的博大精深。因式分解的应用十分的广泛,它在我们的身边时刻存在着。可这一条条有趣的因式分解题,我渐渐地被它吸引住了。让我们先来认识一下因式分解吧:把一个多相式的积化为几个最简整式的积的形式, 这种变形叫做把这个多项式因式分解( 也叫作分解因式)。它是中国数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地初中数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具。关键词: 因式分解双十字相乘法分组分解法分解因式前言: 因式分解方法灵活, 技巧性强, 学****这些方法与技巧, 不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力。分解因式的方法有很多,比如提公因式法、公式法。而在竞赛上, 又有拆项和添减项法, 分组分解法和十字相乘法,待定系数法,双十字相乘法,对称多项式。下面,就让我带领大家走进因式分解的奇妙的美丽数学世界。在我的学****经历中, 我最喜欢的就是十字相乘法。双十字相乘法运用很巧妙,可以将一个很复杂的数据简单地呈现, 我们一起来学****一下吧!! 双十字相乘法属于因式分解的一类, 类似于十字相乘法。双十字相乘法就是二元二次六项式,启始的式子如下: ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f x、y 为未知数,其余都是常数用一道例题来说明如何使用。例:分解因式: x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12 . 分析:这是一个二次六项式,可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。解:图如下,把所有的数字交叉相连即可 x 2y2①②③ x 3y6∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6) . 双十字相乘法其步骤为: ①先用十字相乘法分解 2 次项,如十字相乘图①中 x^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y) ; ②先依一个字母(如y) 的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中 6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6) ; ③再按另一个字母(如x) 的一次系数进行检验, 如十字相乘图③,这一步不能省,否则容易出错。纯粹数学可以是实际有用的,而应用数学也可以是优美高雅的。下面,就来看看因式分解的题目了,你们想必也会乐在其中。 1.△ ABC 的三边 a、b、c 有如下关系式: -c^2+a^2+2ab-2bc=0 ,求证:这个三角形是等腰三角形。分析:此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。证明: ∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0 , ∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0 . ∴(a-c)(a+2b+c)=0 . ∵a、b、c是△ ABC 的三条边, ∴ a+2b+c>0 . ∴a- c=0 , 即 a=c ,△ ABC 为等腰三角形。 3 证明:对于任何数 x,y ,下式的值都不会为 33 x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5 解:原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5) =x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y) =(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4) =(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y) 如果从运算角度上考虑,也就是把一个和在保持大小不变的条件下,写成一个乘积的形式,而有些运算积比和算起来要简单, 因此因式分解在解决实际问题中有着重要应用. 例 1有一天,小明和爸爸去公园里散步,看到公园有一块长为 的正方形绿地,为了便于游人通行,决定修两条互相垂直的小路,其中小路宽 ,然后小明就问爸爸:“剩余绿地的面积是多少? ”爸爸笑了笑,便轻易的回答说:“剩余绿地的面积为 2500m 2 你知道其中的奥秘么? 在数学的天地里,重要的不是我们知道什么,而是我们怎么知道什么.。分析:用整块绿地的面积减去小路的面积就是剩余绿地的面积解: 2-(2× × - 2) = 2 -2× × + 2=( - ) 2 =50 2 =2500 所以剩余绿地的面积为 2500m 2 应用公式法,常用的公式有: (1) 222)(2babab a????(2)) )(( 22bababa????(3)) )(( 2233bab ababa?????(4) 33223)(33babab baa?????(5) 2 222)(222cbaac bc ab cba????????(6)) )((3 222 333 ca bc ab cbacbaabc cba???????????