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常微分方程全微分方程.ppt

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常微分方程全微分方程
*
第一页，共40页

设
是一个连续可微的二元函数,则
若
则有
这是一大类可求解的微分方程.
*
第二页，共40页
则称
为全微分方程。
若连续可微的二元函数
使得
此时，全微分方程
的解为
*
第三页，共40页
例如,下列方程都是全微分方程:
因为函数
的全微分就分别是这三个方程的左端,
他们的解分别是
*
第四页，共40页
但并不是所有的方程都能方便地找到对应的
的函数
,或者这样的
就不存在.
所以我们有三个问题需要解决:
(1)方程是否就是全微分方程;
(2)若方程是全微分方程,怎样求它的解;
(3)若方程不是全微分方程,有无可能
将它转化为一个全微分方程来求解?
*
第五页，共40页
是全微分方程的充要条件为:
（)
证明：

设
是全微分方程,则有函数
使得
中连续且有连续的一阶偏导数，则
设函数
和
在一个矩形区域
*
第六页，共40页
故
成立。
故有
计算
的二阶混合偏导数:
由于M(x,y)和N(x,y)有连续一阶偏导数,
从而有
*
第七页，共40页

构造函数
满足
设
满足
取
待定，对上式关于y求偏导数得
在矩形R中取一点
令
是R的一个动点，
*
第八页，共40页
令
所有与
相差一个常数的函数都满足
则找到一个满足
的函数
这种方法称为线积分法.
*
第九页，共40页
例：验证方程
是全微分方程，并求它的通解。

由于
解：
当一个方程是全微分方程时,我们有三种解法.
(1) 线积分法:
或
*
第十页，共40页

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常微分方程 全微分方程.ppt

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