高中物理竞赛亚赛例题.ppt

高中物理竞赛亚赛例题
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6. 如果卫星受到一个微小的扰动，偏离了原先半径为R1的圆轨道，导出卫星到地心的距离r围绕平均距离R1来回振动的周期T。
7. 描绘受到扰动的轨道以及原有圆轨道的草图。
提示：必要的话可以运用以下卫星轨道的运动方程：
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解：
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h取零级近似
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秋千问题. 一男孩通过交替蹲下和站起的方式来荡秋千。图示的是在摆动过程中男孩的质心轨迹。当男孩处于站立姿势时，设秋千枢轴到男孩质心的距离为ru；而当男孩处在下蹲姿势时，秋千枢轴到男孩质心的距离为rd。设比值rd/ru=21/10=。
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为了使问题简化，假定秋千质量可以忽略，秋千的摆幅很小，男孩的质量总是集中在其质心上；同时还假定男孩每次从下蹲到站立或者站立到下蹲的过程(即A到B，E到F)与秋千摆动本身相比进行得足够地快，因此可以认为从下蹲到站立或者站立到下蹲是瞬间完成的。与此类似，另外两个下蹲过程(从C到D，从G到H)也被假定是瞬间过程。
需要求解的问题是：男孩要将秋千摆动幅度增加一倍，或者说最大角速度增加一倍(即摆动幅度为初始幅度的两倍，或最大角速度为原来的两倍)，需要进行多少次（可以用分数表示）摆动才行。
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角动量守恒，

由B摆到最高点C机械能守恒，

由D摆到E的过程也满足机械能守恒，即
经过n个周期角速度增加的因子是
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。
经过n个周期角速度增加的因子是
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滑动摩擦下的谐振子
力学里，经常用到所谓的相空间，即由体系所有粒子的坐标和动量（或者速度）构成的虚拟空间。相空间里的点称为相点。每个相点确定了系统的一个状态。
当力学系统演化时，相应的相点的轨迹成为相轨迹。通常在相轨迹上画一个箭头来反应演化的方向。给定力学系统的所有可能的相轨迹构成相图。通过分析相图就可以定性地给出力学系统的重要性质而无需将系统的动力学方程求解为显函数形式（explicit form）。在许多情况下，相空间的应用是解决力学问题的最合适的方法。
本题中，我们建议利用相空间来分析一个自由度的力学系统，即一个坐标描述的系统。在这种情况下，相空间是一个二维平面，相轨迹是该平面上一条曲线，它反映动量和坐标的依赖关系。
作为一个例子，图1给出了一个沿x轴正方向运动的自由粒子的相轨迹。
x
p
0
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