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精选方法
时频分析方法综述
几种时频分析方法简介
N-1
DFT:H 哈;)=
FT:H(f)=C h(t)-e ^ftdt
J-00
IFT;h(t) = C H(f)-e2,rftdt
J-00
离散化(离散取样)
周期化(时频域截断)'
傅里叶变换(Fourier Transform)
1 g k
IDFT;h(nT) = —^H(—)ej2,rnk,N
小波变换(Wavelet Transform)
(Gabor Transform(Short Time Fourier Transform)/) 从傅里叶变换的定义可知，时域函数h(t)的傅 里叶变换H(/)只能反映其在整个实轴的性态， 不能反映h (t)在特定时间区段内的频率变化 情况。如果要考察h(t)在特定时域区间(比如: te[a,b])内的频率成分，很直观的做法是将 h(t)在区间te[a,b]与函数沐)4上代，然后考察
力⑴力1(/) 傅里叶变换。但是由于力⑹在t= a，b处突然 截断，导致中 〃(/)%(/) 出现了原来h (t)中不存在 的不连续，这样会使得/心e的傅里叶变化中附 件新的高频成分。为克服这一缺点，在1944
年引入了 “窗口”傅里叶变换的概念，他的做
法是，取一个光滑的函数g(t)，称为窗口函数, 它在有限的区间外等于
0或者很快地趋于0,
然后将窗口函数与h(t)相乘得到的短时时域函 数进行FT变换以考察h(t)在特定时域内的频 域情况。
STFT： Gf (/, r) = J： h(t)g(t -门戶dt
ISTFT： h(t)=厂 dfV" g(t- g (/, T0押dt
J—OO J—00 J
Time
① P2一-dEV
Aou ① nbaJLL
e
im
图：STFT示意图
STFT算例
cos(2^100 Os < t <5s
cos(2^250 5s < t < 10s x(t)= <
cos(2^50z) 10s < t < 15s
cos(2tt1000 15s < t < 20s
0
20
60
g 80
X 1CD
? 120
140
160
180
200
25 ms window
1 ‘05
Sp«ctio)r*n w«h T» 25 m»
I C4
OR8608D10012D140160
125 ms window
Spectrogram vwth T ■ 375 m»
3)36080100120140160180200
Spxtrognm wtt» T • 1000 ms
ce
ij?
k 06
T7W windnuu
1050 win/inuu
图：四个余弦分量的STFT
b・窗口傅里叶变换(Gabor)到小波变换(Wavelet
Transform)
Wavelet Analysis
w
Wavelet
Transform
图：小波变换
定义满足条件：
匚气#6< +00假可;一 >讥0)=0o匸”⑴|毎0
的平方可积函数①(t)(即*(t)£L2 (—8, +8))为——基本小波或小波母函数。
db5小波函数
WaveM function psi
mexh小波函数
图：几种常用的小波函数
a、b为实数，且aHO,
称Wab为由母函数生成的有赖于参数a,b的连续小波函数。设f(t)WI? (—8, +oo),定义其小波变换为:
旳仏 b) = {f^ab) =
与Fourier类似，小波变化也具有反演公式:
m)=+匚匚旳仏叽 ⑴
dadb
以及Parseval等式:
Jy J_oo ' ' a1 0 '
a1
fCCK仏耐2警MR(心•
小波变换虽然具有频率愈高相应时间或空间分辨率愈高的优点，但其在频率域上的分辨率却相应降低。这 是小波变换的弱点，使它只能部分地克服Fourier变换的局限性。小波包变换将在一定程度上弥补小波变换 的这一缺陷。
AouenbaJ 丄
① pa-dEV
Time
Time Domain (Shannon)
Amplitude
Frequency Domain (Fourier)
Aouonbe 匚
s
Time Wavelet An a lysis
%
%
a3
a2
Signal and Approximation(s)
Coefs, Signal and Detail(s