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第一节基本方程的建立第一章一些典型方程和定解条件的推导湖南大学朱郁森一、方程的导出例1(弦的微小横振动) 一根紧拉着的均匀、柔软而有弹性的轻弦,弦长为 l ,两端固定在 O 、 L 两点,弦在平衡位置附近作微小横振动,求弦上各点的运动规律。平衡位置横振动: ( , )u x t 表示点 x 在时刻 t 离开平衡位置的位移。且弦上各点是垂直离开平衡位置的指全部运动出现在一个平面上, O L 柔软有弹性均匀轻微小: 1 0, α≈ 1 1 2 1 tan sin 1 tan ααα= + 1 tan α≈( , ), xu x t = 1 cos 1. α≈ M x x+ △ x ' M 2 T 1 T 1 α 2 α s ? x u 2 0, α≈ 2 2 sin tan ( , ), xu x x t α α≈ = + ? 2 cos 1. α≈因为 s? = 2 1 x x x x u dx +?+ ∫ x x x dx +?≈∫, x = ?所以发生在弦中的张力大小与时间无关。又因在 x 轴方向有 2 2 1 1cos cos 0, T T α α? = 2 1 , T T = 所以张力大小与位置 x 无关。因此 1 2T T T= = (常量)。在 u 轴方向,作用于弦段' MM 的张力分量为 2 2 1 1sin sin T T α α? 2 2 1 1tan tan T T α α≈ ?[ ] ( , ) ( , ) , x x T u x x t u x t = + ??由牛顿第二运动定律,有[ ] ( , ) ( , ) . x x tt T u x x t u x t xu ρ+ ? ?= ?若 u (x,t )二次连续可微,则由 Lagrange 中值定理,有( , ) ( , ) ( , ) , x x xx u x x t u x t u x x t x θ+ ? ?= + ?? 0 1. θ< < () 于是( , ) . xx tt Tu x x t u θ ρ+ ?= 令 0, x? →则 2 , tt xxu a u = 0 , 0. x l t< < > 其中 2 . T a ρ= 一维波动方程注1、若弦在振动过程中受到横向外力的作用,且外力密度为 F (x,t), [ ] ( , ) ( , ) . x x tt T u x x t u x t F x xu ρ+ ? ?+ ?= ?于是 2 ( , ), tt xxu a u f x t= + 其中. F f ρ= 一维波动方程自由振动方程受迫振动方程则( )式应为注2、由薄膜的微小横振动可导出二维波动方程 2( ), tt xx yyu a u u= + 2( ) ( , , ). tt xx yyu a u u f x y t= + + 注3、由描述空间电磁波传播的 Maxwell 方程组可导出三维波动方程 2( ), tt xx yy zzu a u u u= + + 2( ) ( , , , ). tt xx yy zzu a u u u f x y z t= + + + Gauss 公式: 设 是三维空间中一有界开域,其边界分片光滑,记 设函数???, ?= ???∪ 1 ( , , ), ( , , ), ( , , ) ( ) ( ), P x y z Q x y z R x y z C C ∈ ? ?∩则( ) [ cos( , ) cos( , ) cos( , )] x y zP Q R dxdydz P n x Q n y R n z dS ???+ + = + + ∫∫∫∫∫其中 n是 上面积元 dS 处的单位外法向量,而是方向余弦。??