各种矩阵三角矩阵正定矩阵正交矩阵伴随矩阵.docx

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三对角矩阵
在中，一个三对角矩阵是的一种，它“几乎”是一个。准确来说：一个三对角矩阵的在 上，或比主对角线低一行的对角线上，或比主对角线高一行的对角线上。例如，下面的是三 对角矩阵：
/I 4 0 0\
I 3 4 1 0 I
0 2 3 4 |
\0 0 1 37
性质
三对角矩阵是。尽管一般的三对角矩阵不一定是或，许多解线性代数问题时出现的矩阵 却往往有这些性质。进一步如果一个实三对角矩阵 A满足ak,k+i ak+i,k > 0,所以它元素的符号
都为正，从而相似于一个埃尔米特矩阵，这样都是实数。后一个推论如果我们将条件 a,k+i
ak+i,k > 0换为ak,k+i a+i,k > 0 ,结论仍然成立。
所有n x n三对角矩阵的组成一个 3n-2维。
许多线性代数应用于对角矩阵时所需特别少， 这种改进也经常被三对角矩阵继承。譬如，
一个n阶三对角矩阵A的能用（）的公式计算：
ddj4 = det [4]{i,…你-1} 一 %,循一1£一1伊 d^t [4]{3…即一叫,
这里是第k个主，即[闻口一同是由a最开始的k行k列组成的子 矩阵。用此方法计算三对角矩阵所需计算量是线性 n ,然而对于一般的矩阵复杂度是n的3
次方。 I 计算程序
一个将一般矩阵变成海森堡型的变换，将厄密特矩阵变成三对角矩阵。从而，许多运用 到厄密特矩阵上，第一步将输入的厄密特矩阵变成三对角矩阵。
一个三对角矩阵利用特定的比一般矩阵所用的存储空间也少得多。例如， 包将一个n-
维非对称三对角矩阵存为三个1-维数列，其中一个长n包含对角元素，其它两个长为n- 1 包含下对角线和上对角线元素。
三对角矩阵方程 A1=3 b三联"，能用一种需要O（n）次操作的解出来（Golub and Van
Loan）。
正交矩阵
概述
正交矩阵是实数特殊化的，因此总是。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，这个定义可用 于其元素来自任何的矩阵。正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，对于复数的矩阵这导致了归 一要求。
要看出与内积的联系，考虑在n维实数中的关于正交基写出的向量 v。v的长度的平方是 vTVo如果矩阵形式为Q/的线性变换保持了向量长度，则
VTV = (Qv)t(Qv) = vtQtQv0
所以有限维线性，比如、和它们的组合，都产生正交矩阵。反过来也成立：正交矩阵蕴 涵了正交变换。但是，包括了在既不是有限维的也不是同样维度的空间之间的，它们没有等 价的正交矩阵。
有多种原由使正交矩阵对理论和实践是重要的。 nxn正交矩阵形成了一个，即指示为 O
(n)的，它和它的子群广泛的用在数学和物理科学中。例如，分子的是 O (3)的子群。因
为浮点版本的正交矩阵有有利的性质，它们是字中很多算法比如的关键，通过适当的规范化， (用于压缩)可用正交矩阵表示。
例子
下面是一些小正交矩阵的例子和可能的解释。
［1。］
•”何等变换。
-
0,96 伤尔
♦ L 」 o
L
1 0
，。
0 - -
-
, °,64 旋转反演 r rotoinversion):轴(0,-3/5,4/5),角度 90°。
0 0 0 f
0 0 10
10 0 0
• 1 口 0」置换坐标轴。
基本构造
低维度
最简单的正交矩阵是1 X 1矩阵［1］和［-1］,它们可分别解释为恒等和实数线针对原点的 反射。
如下形式的2X2矩阵
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它的正交性要求满足三个方程
在考虑第一个方程时，不丢失一般性而设 p = cos 8, q = sin 8 ;因此要么t
-q, u = p要么t = q, u = - p。我们可以解释第一种情况为8（8 = 0是单位矩阵）,
第二个解释为针对在角9 /2
-casfl —sin 0 sin® cqs8
旋转
的直线的。
cos 9 sin 0
反射
3
8
9
8
在45°的反射对换x和y；它是，在每列和每行带有一个单一的 1（其他都是0）:
0 1'
1 0
单位矩阵也是置换矩阵。
反射是它自己的逆，这蕴涵了反射矩阵是的（等于它的转置矩阵）也是正交的。两个旋
转矩阵的积是一个旋转矩阵，两个反射矩阵的积也是旋转矩阵。
更高维度
不管维度，总是可能把正交矩阵按纯旋转与否来分类， 但是对于3X3矩阵和更高维度矩 阵要比反射复杂多了。例如，
-1
0
0
0
-1
0
0
0
-1
0
0
-1
表示通过原点的和关于z轴的（逆时针旋