基本不等式教案习题.doc

[备考方向要明了]
考什么
怎么考
.
(小)值问题.
,如比较大小、求最值等,如2012年福建T5,湖南T8等.
,考查基本不等式在求函数最值中的应用,如2012年江苏T17等.
[归纳·知识整合]
≤
(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.
(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号.
[探究] “当且仅当”的含义?
提示:①当a=b时,≥取等号,即a=b⇒=
②仅当a=b时,≥取等号,即=⇒a=b.

a2+b2≥2ab(a,b∈R);+≥2(a,b同号).
ab≤2(a,b∈R);2≤(a,b∈R)

设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式可叙述为:两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数.

已知x>0,y>0,则
(1)如果积xy是定值P,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2(简记:积定和最小).
(2)如果和x+y是定值P,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是2(简记:和定积最大).
[探究] (小)值时,等号取不到时,如何处理?
提示:当等号取不到时,,y=x+在x≥2时的最小值,利用单调性,易知x=2时ymin=.
[自测·牛刀小试]
>0,n>0,且mn=81,则m+n的最小值为( )


解析:选A 因为m>0,n>0,所以m+n≥2=2=18.
(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a=( )
+ +

解析:选C f(x)=x+=x-2++2,
∵x>2 ∴x-2>0
∴f(x)≥2 +2=4
当且仅当x-2=,即x=3时,“=”成立,又f(x)在x=a处取最小值,所以a=3.
>0,y>0,z>0,x-y+2z=0则的( )


解析:选D ==
=≤.当且仅=,即x=2z时取等号.
=x+的值域为________.
解析:当x>0时,x+≥2 =2;
当x<0时,-x>0,
-x+≥2 =2,所以x+≤-2.
综上,所求函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).
答案:(-∞,-2]∪[2,+∞)
,过坐标原点的一条直线与函数f(x)=的图象交于P,Q两点,则线段PQ长的最小值是________.
解析:由题意知:P,Q两点关于原点O对称,不妨设P(m,n)为第一象限中的点,则m>0,n>0,n=,所以|PQ|2=4|OP|2=4(m2+n2)=4≥16(当且仅当m2=,即m=时,取等号).故线段PQ长的最小值为4.
答案:4
利用基本不等式证明不等式
[例1] 已知a>0,b>0,a+b=1,
求证:≥9.
[自主解答] 法一:∵a>0,b>0,a+b=1,
∴1+=1+=2+.同理,1+=2+.
∴==5+2≥5+4=9,当且仅当=,即a=b时取“=”.
∴≥9,当且仅当a=b=时等号成立.
法二:=1+++
=1++=1+,
∵a,b为正数,a+b=1,
∴ab≤2=,当且仅当a=b=时取“=”.
于是≥4,≥8,当且仅当a=b=时取“=”.
∴≥1+8=9,
当且仅当a=b=时等号成立.
保持例题条件不变,证明: + ≤2.
证明:∵a>0,b>0,且a+b=1,
∴+ = +
≤+===2.
当且仅当a+=1,b+=1,即a=b=时“=”成立.
利用基本不等式证明不等式的方法技巧
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,要从整体上把握运用基本不等式,对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧有:拆项、并项,也可乘上一个数或加上一个数,“1”的代换法等.
>0,b>0,c>0,求证:++≥a+b+c.
证明:∵a>0,b>0,c>0,
∴+≥2 =2c,
+≥2 =2b,
+≥2 =2a.
以上三式相加得:
2≥2(a+b+c),
即++≥a+b+c.
利用基本不等式求最值
[例2] (1)(2012·浙江高考)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是( )
A. B.

(2)已知a>0,b>0,a2+