基本不等式教案.doc

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基本不等式教案
一、教学目标：
1、知识及技能：
①了解基本不等式的推导过程，理解几何意义，并掌握基本不等式取得等号的条件；
②能够初步运用基本不等式以及等号取得的条件，求出一些简单函数的最值(最大最小值)，并能解决一些较为简单的实际问题。
2、过程及方法：
本节内容是学生对不等式认识上的一次提升。要引导学生从数、形两方面探究基本不等式的证明，从而进一步突破难点。定理的证明要严密，要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等严密严谨的思维能力。
3、情感及价值：
培养学生举一反三的逻辑推理能力、严谨求实的科学态度，领略数学的应用价值，激发学生的学****兴趣。同时通过基本不等式的几何解释，提高学生数形结合的能力。
二、教学重点和难点：
重点：用数形结合思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的多种解释；
难点：理解“当且仅当时取等号”的数学内涵，并会应用基本不等式求解函数的最大最小值问题，以及解决一些简单的实际问题.。
三、学法及教学用具：
先让学生观察常见的图形，通过图形的直观比较抽象出基本不等式。从生活中实际问题突出数学本质，可调动学生的学****兴趣。定理的证明要留一部分给学生，让他们自主探究。教学用具：直角板、圆规、投影仪，如有条件可以使用多媒体(几何画板)进行教学。
四、教学设想：
1、几何操作，引入问题：
给出如右的所示的几何图形，是的直径，点是上任意一点，过点作垂直于的弦交于，连结、，同学们，能通过这个圆以及简单的三角形得到一些相等和不等的关系吗?
提问一：现在我们不妨假设，，那么的长度是多少？、
由为直径可知是直角三角形，再根据，容易证得∽，即得；
提问二：根据初中学****的知识，在一个圆中，任意一条弦长及这个圆的直径有什么关系？
任意一条弦长不大于直径的长度，而且当且仅当弦为直径时，长度相等。
提问三：结合上面两个问题，我们可能得到一个不等式，写出这个不等式，并说出等式两遍能否相等，若可以，等号成立的条件是什么？
首先由垂径定理可知，，因此有，即为的一条弦长，而表示的是直径的长度，根据上一问的结论可以得知有不等式，两边同时除以，不等式可以表示为：；再据上一问的结论，易知上述不等式可以成立当且仅当时(即当点
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及圆心重合时)，等号才成立。
提问四：深入思考，如果将不等式中的用替换，能够得到什么结论；这时，有什么条件限制吗？
替换之后，不等式即变为，当且仅当时等号成立；此时要求有。
2、代数证明，得到结论：
根据上面的几何分析结果，我们初步形成不等式结论：
若，则 ②
提问五：能否给出上述两个不等式严格的证明？(学生尝试证明后口答,老师板书)
证明①(作差法)：；
又当时，；当时，；
，当时取等号。
（注意强调：当且仅当时, 有等式成立）
证明②(分析法)：由于，于是
要证 ，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③
只要证 ，　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④
要证④，只要证 ，　　　　　　　　　　　 ⑤
要证⑤，只要证 ，　　　　　　　　　　　　　⑥
显然，⑥是成立的，所以，当且仅当时取到等号。
于是我们得到这节课要学****的内容：
基本不等式：若，则（