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第 1 页
MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 1 Section 1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT SEQ MTChap \r 1 \h \* MERGEFORMAT
数学物理方程期末考试试题及答案
一、求解方程（15分）
其中。
解：设则方程变为：
，(8’)由边值条件可得：
由即得：
二、利用变量分离法求解方程。（15分）
其中。为常数
解：设代于方程得：
，(8’)
由边值条件得：
三．证明方程具有狄利克雷边界条件的初边值问题解的唯一性及稳定性. (15分)
证明：设代入方程：
设都是方程的解设代入方程得：
由极值原理得唯一性得证。(8’)由
，稳定性得证由知的唯一性稳定性得证。
四．求解二维调和方程在半平面上的狄利克雷问题(15分).
解：设是上半平面内一点，在该点放置单位点电荷，其对称点 格林函数：
第 2 页
方程的解：
五、证明下列初边值问题解的唯一性.(20分)
其中为的边界.
解:设都是方程的解设代入方程得：
设
(10’)
，，由边值条件得：。(20’)
六 考察边值问题
试证当充分负时,其解具有唯一性及在能量模意义下的稳定性.(20分)
证明：在原方程两边同乘以然后在上积分：
由格林公式
由不等式
又故得估计：
(10’)
设都是方程的解设代入方程并由估计式得：唯一性得证
，稳定性得证。
MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 1 Section 1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT SEQ MTChap \r 1 \h \* MERGEFORMAT
数学物理方程期末考试试题及答案
一、求解方程（15分）
其中。
解：设则方程变为：
，(8’)由边值条件可得：
由即得：
二、利用变量分离法求解方程。（15分）
其中。为常数
解：设代于方程得：
，(8’)
由边值条件得：
三．证明方程具有狄利克雷边界条件的初边值问题解的唯一性及稳定性. (15分)
证明：设代入方程：
设都是方程的解设代入方程得：
由极值原理得唯一性得证。(8’)由
，稳定性得证由知的唯一性稳定性得证。
四．求解二维调和方程在半平面上的狄利克雷问题(15分).
解：设是上半平面内一点，在该点放置单位点电荷，其对称点 格林函数：
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方程的解：
五、证明下列初边值问题解的唯一性.(20分)
其中为的边界.
解:设都是方程的解设代入方程得：
设
(10’)
，，由边值条件得：。(20’)
六 考察边值问题
试证当充分负时,其解具有唯一性及在能量模意义下的稳定性.(20分)
证明：在原方程两边同乘以然后在上积分：
由格林公式
由不等式
又故得估计：
(10’)
设都是方程的解设代入方程并由估计式得：唯一性得证
，稳定性得证。
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