线代 正定二次型.ppt

线代课件 正定二次型
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一、惯性定理
一个实二次型，既可以通过正交变换化为标
准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，
显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形
中所含有的项数是确定的，项数等于二次型线代课件 正定二次型
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一、惯性定理
一个实二次型，既可以通过正交变换化为标
准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，
显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形
中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩．
下面我们限定所用的变换为实变换，来研究
二次型的标准形所具有的性质．
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为正定二次型
为负定二次型
二、正定二次型的概念
例如
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证明
充分性
故
三、正(负)定二次型的判别
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必要性
故
推论　对称矩阵 A 为正定的充要条件是： A 的
特征值全为正．
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定理11(霍尔维茨定理)
对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是： A
的各阶主子式为正，即
对称矩阵 A 为负定的充要条件是：奇数阶主
子式为负，而偶数阶主子式为正，即
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正定矩阵具有以下一些简单性质
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例1 判别二次型
是否正定.
解
它的顺序主子式
故 f 是正定二次型 .
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例2 判别二次型
是否正定.
解
二次型的矩阵为
用特征值判别法.
故此二次型为正定二次型.
即知 是正定矩阵，
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例3 判别二次型
的正定性.
解
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例4
解
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为半正定二次型
为不定二次型
例如
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2.　正定二次型（正定矩阵）的判别方法：
(1)定义法；
(2)顺次主子式判别法；
(3)特征值判别法.
四、小结
1.　正定二次型的概念，正定二次型与正定
矩阵的区别与联系．
3.　根据正定二次型的判别方法，可以得到
负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大
家自己推导．
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思考题
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思考题解答
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