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一维波动方程推导
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基桩动测技术的发展及国内外研究现状
一百年以前，动力打桩公式
Saint Venant提出一维波动方程

将式（20）和式（24）带入式（27）得
公式（27）、（28）和式（29）表示，当下行波传到自由端时，将产生一个符号相反，幅值相同的反射波，才能保持力的平衡，即如果下行的是压缩波，则反射的一定是拉伸波，下行的是拉伸波，则反射的一定是压缩波。桩身阻抗减少的界面反射波的规律与自由端类似。
（25）、（28）
即在杆端由于波的叠加，使杆端质点速度增加一倍。
（27）
（28）
（29）
（30）
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当杆或桩的端部为固定端时，其边界条件为
将式（20）和式（24）带入式（31）得
类似地
公式（32）、（33）、（34）表示应力波到达固定端后，将产生一个与入射波相同的反射波，即入射的压力波产生压力反射波，入射的拉力波产生拉力反射波。在杆端处由于波的叠加使反力增加一倍。
（31）
（32）
（33）
（34）
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基桩或杆件阻抗变化引起的反射波
当基桩或杆件阻抗发生突变时，如图2所示，由变阻抗处的连续条件可得：
将式（20）和（24）代入式（35），可得
图2 阻抗变化引起的反射波
（35）
（36）
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当只有下行波通过界面时：
当只有上行波通过界面时：
同理可以推出
（36）
（36）
（37）
（38）
（39）
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由上式可得：
（1）当原有的下行波通过阻抗变化的截面时，反射波的幅值为原入射波的（Z2－Z1）/(Z1+Z2)倍，并根据（Z2－Z1）的正负决定反射波的性质是否变化。
（2）应力波反射和透射能力大小取决于两种介质波阻抗的差异情况。两种介质波阻抗相差愈大，反射能力愈大，透射能力愈小；波阻抗相等，只有透射没有反射。
（3）波的性质：压力波，拉力波的变换
（4）当桩身缩径、夹泥、离析、断桩等缺陷时，Z2<Z1，入射波与反射波同号；桩身存在扩径时，Z2>Z1，入射波与反射波反号；
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如图，假定有一冲击力作用在桩顶，产生的应力波沿桩身往下传播，在距桩顶x处遇到一阻力R，应力波将发生反射和透射。设阻力作用截面以上标记为1,以下标记为2。根据力的平衡条件得
将式(20)、（24）带入式（40）可得
图3 土阻力波在桩中的传播
（40）
（41）
（42）
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由截面的连续条件可得
联立方程式（41）～式（43）可得
式（44）表示，下行入射波通过x截面时，由于阻力作用，将在界面处产生幅值均为Rx/2的向上传播的压力波和向下传播的拉力波。
同理，可以推出
式（45）表示，下行入射波通过x截面时，阻力将使速度曲线下降Rx/2Z。
如果在深度x处的阻力Rx于x/c时刻开始作用，则在2x/c时刻桩顶力和速度之间的差为R，因为上行波的力和速度的大小均为R/2,总和为R。
（43）
（44）
（45）
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如果阻力在L/C时刻作用在桩尖，根据力的平衡条件，将产生一个上行的应力波，其值为R。质点速度为－R/Z。
如果在时段x/c<2L/c内有一阻力R持续作用，则在2L/C时刻，力和速度记录中将包含下列影响：
在2L/C时刻之前由初始的下行压缩波在桩底反射产生的上行拉伸波
F(d, t1)；
2. 全部上行的压缩阻力波（R/2）的总和；
3. 初始的下行的拉伸阻力波经桩底反射后以压缩波形式上行，与1
项的上行波同时到达桩顶；
4. 所有上行波到达桩顶后反射形成的全部下行波F(d, t2)。
2、3项的应力波之和为R，其中包括了两个二分之一侧阻力和全部的端阻力。
因此，全部上行波的总和将包括阻力波和t1时刻的冲击波在桩底的反射波（取负值）。
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式中，下标1和2表示时刻t1和时刻t2=t1+2L/C
R是遇到的总阻力，包括动阻力和静阻力，这个总阻力和桩的极限承载力之间仍存在差别，为了预估桩的承载力，需要作多方面的考虑：
即
（46）
（47）
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去除土阻尼的影响;
在对P和V曲线采样时，正确选择t1时刻，使阻力充分激发；
对由于桩的过早回弹（在2L/c时刻之前产生负的速度）而导致桩侧和桩