抽象函数奇偶性对称性周期性.doc

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抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论
: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号与其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特＝2|a－b|
性质7、假如函数y＝f(x)既关于点〔a，0〕中心对称，又关于直线x＝b轴对称，如此函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|
6、函数对称性的应用
〔1〕假如,即
〔2〕例题
1、;
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2、奇函数的图像关于原点〔0，0〕对称：。
3、假如的图像关于直线对称。设
.
〔四〕常用函数的对称性
三、函数周期性的几个重要结论
1、( ) 的周期为，()也是函数的周期
2、的周期为
3、的周期为
4、的周期为
5、的周期为
6、的周期为
7、的周期为
8、的周期为
9、的周期为
10、假如
11、有两条对称轴和周期
推论：偶函数满足周期
12、有两个对称中心和周期
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推论：奇函数满足周期
13、有一条对称轴和一个对称中心的
四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型
灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，。
例1.〔高考题〕设是上的奇函数，当时，，如此等于〔-〕
〔A〕;〔B〕-; 〔C〕; 〔D〕-.
例2．〔市中学生数学竞赛题〕是定义在实数集上的函数，且，求的值.。
2、比拟函数值大小
，当时，试比拟、、的大小.
解：是以2为周期的偶函数，又在上是增函数，且，
3、求函数解析式
例4.〔高考题〕设是定义在区间上且以2为周期的函数，对，用表示区间当时，求在上的解析式.
解：设
时，有
是以2 为周期的函数，.
例5．设是定义在上以2为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，求时，的解析式.
解：当，即，
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又是以2为周期的周期函数，于是当，即时，
4、判断函数奇偶性
，且等式对任意均成立，判断函数的奇偶性.
解：由的周期为4，得，由得
，故为偶函数.
5、确定函数图象与轴交点的个数
，判断函数图象在区间上与轴至少有多少个交点.
解：由题设知函数图象关于直线和对称，又由函数的性质得
，
故图象与轴至少有2个交点.
而区间有6个周期，故在闭区间上图象与轴至少有13个交点.
6、在数列中的应用
，，求数列的通项公式，并计算
分析：此题的思路与例2思路类似.
解：令如此
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不难用归纳法证明数列的通项为：，且以4为周期.
于是有1，5，9 …1997是以4为公差的等差数列，
，由得总项数为500项，
7、在二项式中的应用