第6章 最优变现策略(证券市场微观结构理论-上海交大).doc

第6章最优变现策略(证券市场微观结构理论-上海交大)
第6章最优变现策略
61>.1 基于的最优变现策略:数值求解
基于的最优策略为使得式(56)
最小的交易策略,即:
(1)

显然,式(1)为一个动态最优问题,寻求函数使得
取极小值,相应的边界条件为
, 。
1 动态最优问题转换成参数最优问题
在常用的最优化计算方法中,通常可以有限差分法、有限元法等方法将动态最优问题转化成其他易于求解的优化问题(叶庆凯王肇明,1986).本文将利用有限差分法,将动态最优问题转化为参数最优问题。
假定最优策略可以由它在 I+1个分点
( )上的值来确定,故可以在区间上由来近似。
定义,则可以利用
来近似。
由此,式(56)可化为:
(9>2)
由于给定边界条件, 和是已知的,式(2) 所代表的指标泛函是 I-1 个参数
的函数。
这样,动态最优问题转换成参数最优问题(2)。
2 参数最优问题转化成非线性方程组求解问题
对于式(2)所表示的参数优化问题同样可以利用多种方法进行求解,这里将首先将参数最优问题转化成非线性方程组求解问题,而后利用求解非线性方程组的Newton-Raphson方法进行求解.
令
下面为书写简便,引入向量符号:
根据多元函数极值存在的必要条件,寻求可微函数的极值问题,可以转化为求解非线性方程组
(3)

不等式线性约束为:
3 非线性方程组求解的N-R方法
(1) 基本的N-R方法
设是第K+1次迭代的起始点,而第K+1次迭代所取的改变量设为
,根据不等式线性约束,必须满足
令
当改变量的大小很小时,利用泰勒展开式可以把表示成:
(4)
其中为改变量的第个 j 分量。略去高阶小量,并引入Hessian阵H,其元素
为
利用 H 的对称性,式(4)可简化为

(5)
其中
(6)

为函数的梯度向量。
假定为函数的极值点,那么它也是的根。由式(5) 得到:
(7)

如果 H 可逆,可以解出方程(7):

(8)
即
(9)
可以验证具有 2 阶连续的偏导数,并且相应的Hessian阵 H 可逆。需要指出的是,通过解方程组(3)来替代求极值问题,求得的只是驻点。不过,当 H 为正定矩阵时,可以保证该驻点为极小值点。
(2) 改进的N-R方法
在基本的N-R方法中,要求Hessian阵是正定的,要求必须选取使得 H 正定的初始点,这为初始点的选取带来较大的限制。
下面将考虑放宽Hessian阵正定要求:通过适当改变基本Newton-Raphson算法中的步长,同时保留它所确定的方向,即将迭代公式(9) 改为
(10)
其中由单维搜索
决定。这样可以保证,从而提高了算法的稳定性,防止迭代趋向极大值,因而不再要求Hessian阵正定了。
4 基于最优变现策略的数值求解
考虑投资者在2001年1月8日持有深发展1千万股,其中4百万股是准备长期持有的头寸,即,一旦发生外生冲击,它不得不对股票进行变现时,在持有期末它会保留4百万股的头寸,从而有初始头寸X和目标头寸Y:
下面将利用改进的N-R算法求解可以使得95%置信水平下、持有期为5个交易日的最大可能损失,即,最小的交易策略。
利用2000年10月9日~2000年12月31日深发展的分时交易数据,计算得到永久冲击系数
、瞬时冲击系数、日收益波动率为,调整后的日波动率;置信水平为。利用MATLAB编程,并在程序中设定最大迭代次数M=600,迭代精度为,最终得到的交易策略如图 5??B style='color:white;background-color:#990099'>21所示:
图 6??B style='color:white;background-color:#990099'>21 基于的最优变现策略(数值解法)
Figure 6??B style='color:white;background-color:#990099'>21 Optimal strategy based on LrVaR (Numerical method)
投资者采用该交易策略,得到的为:
从图 6??B style='color:white;background-color:#990099'>21可以看出基于最优变现策略的大致形状,不过,最优策略究竟具有何种表达式?单纯的数值解法无法给出确切的答案。为此,第4节将利用变分法求出该最优策略的解析形式,以确定该最优策略的具体形状。
基于的最优变现策略:解析求解
基于最优策略求解实际上是求解最优轨迹, 满足:
(11)
首先,不加证明的给出引理6