王勖成《有限单元法》1-5章课后习题答案.pdf

有限单元课后答案****题 : 在用有限元法求解时,边界条件总是满足的,控制方程的不完全匹配,会产生误差。题中所给出的近似函数: 23 012 3 a ax ax ax φ=+++ ,应该满足边界条件,对于情况( 1),代入边界条件可得 2 12 03 3 1 0, aL aL aa L ??= = ,从而 3 33 2 12 23 ()( ) x xx ax ax L LL φ=?+ ?+ ( 1 ) 上式中的最后一项 3 3 x L 前面没有待定系数,这是由于使用了在 x=L 处φ=1 的强制边界条件。从物理意义上说,相当于给定边界条件的解为齐次方程的通解加一个特解的缘故。将( 1 ) 式代入教材( )式,得到残量: 12 23 66 () (6 ) (2 ) () x xx Rx a a Qx L LL =?+?++ 不同的求解方法,如配点法、子域法和伽辽金法,只是残量在某种意义上某个区域加权积分为零。配点法强制残量 R(x) 在有限个点严格为零,点的个数取决于未知数个数,这里为 2,通常取所选的点在域内均匀分布,则取 x=L/3 和 x=2L/3 处, R(x)=0, 这样得到 2 ()0, ()0 33 LL RR = = ,从而可以解出待定系数 12 , aa 。带入( 1 )式可以得到φ。配点法仅考虑了有限个点的局部特性,子域法则要求在有限个子域 i ?内残量的积分() 0 iR x dx ?= ∫为零,子域的个数仍然取决于未知函数个数,通常选取各子域的并集为整个待求区域,一般情况可以选择各子域大小相同,但对于某些局部变化较复杂的区域,可以缩小子域的大小,使得子域分布更合理。例如取子域为 12 { |0 /2}, { | /2 }x xL xL xL ?= ≤≤?= ≤≤,则利用 12 () 0, () 0 R x dx R x dx ??= = ∫∫, 可以求出待定系数 12 , aa 。伽辽金法作为加权余量法的特殊形式,权函数选择为插值函数 12 , NN , 这里 33 2 12 2 () , () xx Nxx Nxx LL =?=?,这样,利用()() 0, 1,2 iN x R x dx i ?= = ∫可以求出待定系数 12 , aa 。对于其余边界条件情况可依此类推。练****题 1. 4,注意近似函数要满足边界条件,从而可知截面及坐标系如图所示: ,很多同学把积分区域弄错了,也有不少同学计算错误。这里,由于边界为零,采用泛函及其弱形式得到的积分结果是相同的。最终计算得到: a 1=4608/(13 π 4), a 2 = -512/(15 π 4), a 3 = -1536/(85 π 4 ) 。练****题 ,泛函的欧拉方程基本没太多问题,泛函为零得到边界条件: 23 23 0 0 L d w dw d w w dx dx dx δδ?????= ???????? 如有一问题的泛函为 2 22 2 0 () 22 LEI d w kw w qw dx dx ????Π= ++ ??????????∫,其中 E, I, k 是常数, q 是给定函数, w 是未知函数,试导出原问题的微分方程和边界条件. 22 22 0 () L dw dw w EI kw w q w dx dx dx δδ δδ??????Π= + + ????????????∫ 22 2 3 22 2 3 00 0 234 234 0 00 () () () L LL LL L dw d w dwd w dwd w EI dx EI EI dx dx dx dx dx dx dx dwd w dw dw EI EI w EI wdx dx dx dx dx δδδδδδ? ???= ?? ???? ???=?+ ∫∫∫ 22 4 22 4 00 23 23 00 () () LL LL dw dw dw w EI kw w q w dx EI kw q wdx dx dx dx dwd w dw EI EI w dx dx dx δδ δδδδδ??????? ?Π= + + = ++ ??????? ?????? ???+?∫∫微分方程: 4 4 0 dw EI kw q dx + += 边界条件: 22 22 0 0 x xL dw dw dx dx = = = = , 33 33 0 0 x xL dw dw dx dx = = = = 分强制边界和自然边界。补充题试作加权余量发的最小二乘配点法,并给出所得到的求解方程系数矩阵的特点分析。(最小二乘配点法思路是,