《数学分析》课件 第六章 不定积分.doc

第六章不定积分
不定积分是求微商的逆运算。
§1 不定积分的概念
设在区间内每一点,都有,则称是在上的一个原函数.
例1 设,则是在的一个原函数.
显然,也是在的原函数.
任意的常数也是在的原函数.
例2 ,,是在的一个原函数;
,,是在的一个原函数;
注1 原函数与区间有关。但在本章中重在如何求原函数,故以下不强调区间。只要在某区间成立即可
注2 原函数若存在,则不唯一。
若是在区间内的一个原函数,则是的全体原函数,其中c是任意常数.
证明首先证明对任意给定的常数,,因为,知.
其次证明包括的所有原函数.
设是在区间的任意一个原函数,则有

在区间上的每一点都成立,有微分中值定理的推论知
即
定理证完.
在区间上的原函数全体称为在区间上的不定积分,记为.
其中称为积分号,称为被积函数,
称为积分变量,称为被积表达式.
若是在上的一个原函数,则有;
;
或。
积分号“”也是一种运算符号,由Leibniz引入。
它表示对已给函数求其全体原函数.
例 2


这里没有特别注明的变化范围,通常都理解为使等式成立的全体.
不定积分的几何意义:一族积分曲线,在横坐标相同的点,这些曲线的切线的斜率相等,因此切线彼此平行(图6—1).

小结:两个概念:原函数,不定积分
以下讨论计算:
求导数:基本初等函数导数公式表,
求导四则运算法则,复合函数求导法则,反函数求导法则
求不定积分:基本的不定积分表,不定积分线性运算法则
由复合函数求导法,导出两种换元积分法
由乘积求导法,导出分部积分法
把微商表按反方向读,得最基本的不定积分表,必须牢牢熟记!
甚至基本初等函数,,的不定积分,上表中都没有!
与求导四则运算法则相比,不定积分只有线性运算法则。
定理 若,在区间上的原函数存在,是常数,则


证明事实上,由

根据不定积分定义便证得定理成立.
例

§2 换元积分法与分部积分法
本节中我们再介绍两种重要的积分方法:换元积分法和分部积分法.

考虑复合函数,,,则

记,若是的一个原函数,则

可见,和只要能求出一个,上述不定积分就能求出来。由此有下面两种换元积分法
第一换元积分法:为求,不好求,但好求。
于是求不定积分是它的逆过程
(凑微分法或第一换元法) 设在上有原函数,在上可导,且,则在上有原函数,即

之所以称为凑微分法,是因为上述过程完全是复合函数求微分的逆过程
,
,
,
从表面上看,结果似乎不一样,但实际上它们最多相差一个常数:
。


解法2
用上述公式
解法3
第二换元积分法:为求,不好求,但好求。

作变换,则存在时,有

定理 (第二换元法) 设在上可导且,若在上有原函数,则有原函数,即
证明由于,在上连续严格单调,故有反函数存在,且,于是
故定理结论成立。
例 8 求
解令,则



例 9 求
解令,则


其中
例 10 求
解令,,则


其中
上面的积分可作为公式,汇总
对一些无理式,作如下三角代换:目的在于消去根号
对于,令;
对于,令;
对于,令。
除三角代换外,也可用其它的代换消去根号。
例 11 求
解令,则,
。
例 12 求
解法1 用三角代换。令,则

解法 2 作倒代换,则

解法3 用凑微分法。



我们从复合函数微分法得出了换元积分法,
下面要从乘积的微分法倒出分部积分公式。
设是的可微函数,则,