《数学分析》课件 第四章 微商与微分2.doc

§2 微分概念及其运算

设在点可导,即下面的极限存在:
==
因此=+,其中(),
于是=,
(函数的增量=(的线性函数)+)
物理意义:如果把视为时间时所走过的路程,
时间内所走过的路程
=以匀速运动所走过的路程
+因为加速度的作用而产生的附加路程
设在有定义,如果对给定的,有
=-=+,()
其中与无关,则称在点可微,并称为函数在点的微分,记为
= 或=
在点可导在点可微
由前面的讨论得
微分具有两大重要特征:
微分是自变量的增量的线性函数;
微分与函数增量之差,是比高阶的无穷小量.
因此,称微分为增量的线性主要部分。
事实上当时
===1
即与是等价无穷小量。
系数是依赖于的,它是的函数,
注2 微分dy既与有关,又与有关,而和是两个互相独立的变量,但它对的依赖是线性的.

例1 自由落体运动中,
==

即可表为的线性函数和的高阶无穷小量之和,由微分定义知,在t点可微,且微分

它等于以匀速=运动,在时间内走过的路程.
例2 圆面积,
=一=.
可表示为的线性函数与的高阶无穷小之和,故函数在可微,且微分
从几何上看,微分可以这样理解:
是圆周长,当半径变大即圆面积膨胀时,设想圆周长保持不变,半径增大所引起的圆面积变化就是。
这就是圆面积的微分,它与成正比,与圆面积真正的变化之差是较高阶的无穷小,当然圆不可能保持周长不变而膨胀,这只是一种设想而已,但当很小时,两者之差就更小了。
设正方形的边长为,则面积为
==+
即可表为的线性函数和的高阶无穷小量之和,故在点可微,且微分
=.
可微与可导的关系:
函数=在点可微的充要条件是:.
证明充分性前面已证。
,由定义知

因此=
故在点可导,且=
对一元函数而言,可微与可导是等价的,且有关系式


规定:自变量的微分等于自变量的改变量,
这样微分公式又可写成

于是有,在定义导数(微商)时,符号是作为一个整体,
,微商的确是微分之商.

微分的几何意义: