《现代控制理论基础》第 (3)章(讲义)线性多变量系统的能控性与能观测性分析.doc

II、分析部分
第三章线性多变量系统的能控性与能观测性分析
能控性(controllability)和能观测性(observability)深刻地揭示了系统的内部结构关系,,在现代控制理论的研究与实践中,具有极其重要的意义,事实上,能控性与能观测性通常决定了最优控制问题解的存在性。例如,在极点配置问题中,状态反馈的的存在性将由系统的能控性决定;在观测器设计和最优估计中,将涉及到系统的能观测性条件。
在本章中,我们的讨论将限于线性系统。将首先给出能控性与能观测性的定义,然后推导出判别系统能控和能观测性的若干判据。
线性连续系统的能控性
概述
如果在一个有限的时间隔内施加一个无约束的控制向量,使得系统由初始状态x(to)转移到任一状态,则称该系统在时刻to是能控的。
如果系统的状态x(to)在有限的时间间隔内可由输出的观测值确定,那么称系统在时刻to是能观测的。
前已指出,在用状态空间法设计控制系统时,这两个概念起到非常重要的作用。实际上,虽然大多数物理系统是能控和能观测的,然而其所对应的数学模型可能不具有能控性和能观测性。因此,必须了解系统在什么条件下是能控和能观测的。,。
上面给出了系统状态能控与能观测的定义,下面我们将首先推导状态能控性的代数判据,然后给出状态能控性的标准形判据。最后讨论输出能控性。
定常系统状态能控性的代数判据
考虑线性连续时间系统
Σ: ()
其中,(单输入),且初始条件为。
如果施加一个无约束的控制信号,在有限的时间间隔to≤t≤t1内,使初始状态转移到任一终止状态,则称由式()描述的系统在t = to时为状态(完全)能控的。如果每一个状态都能控,则称该系统为状态(完全)能控的。
下面我们将推导状态能控的条件。不失一般性,设终止状态为状态空间原点,并设初始时刻为零,即
to=0。
由上一章的内容可知,式()的解为
利用状态能控性的定义,可得
或
()
将写为A的有限项的形式,即
()
将式()代入式(),可得
()
记
则式()成为
()
如果系统是状态能控的,那么给定任一初始状态x(0),都应满足式()。这就要求n×n维矩阵
的秩为n。
由此分析,可将状态能控性的代数判据归纳为:当且仅当n×n维矩阵Q满秩,即
时,由式()确定的系统才是状态能控的。
上述结论也可推广到控制向量u为r维的情况。此时,如果系统的状态方程为
式中,,那么可以证明,状态能控性的条件为n×nr维矩阵
的秩为n,或者说其中的n个列向量时线性无关的。通常,我们称矩阵
能控性矩阵。
------------------------------------------------------------------------------
[] 考虑由下式确定的系统:
由于
即Q为奇异,所以该系统是状态不能控的。
------------------------------------------------------------------------------
[] 考虑由下式确定的系统:
对于该情况,
即Q为非奇异,因此系统是状态能控的。
------------------------------------------------------------------------------
状态能控性条件的标准形判据
关于定常系统能控性的判据很多。除了上述的代数判据外,本小节将给出一种相当直观的方法,这就是从标准形的角度给出的判据。
考虑如下的线性系统
()
式中,。
如果A的特征向量互不相同,则可找到一个非奇异线性变换矩阵P,使得
注意,如果A的特征值相异,那么A的特征向量也互不相同;然而,反过来不成立。例如,具有相重特征值的n×n维实对称矩阵也有可能有n个互不相同的特征向量。还应注意,矩阵
P的每一列是与λi (i=1,2, …,n)有联系的A的一个特征向量。
设
x = P z ()
将式()代入式(),可得
()
定义
则可将式()重写为
如果n×r维矩阵G 的任一行元素全为零,那么对应的状态变量就不能由任一来控制。由于状态能控的条件是A的特征向量互异,因此当且仅当输入矩阵没有一行的所有元素均为零时,系统才是状态能控的。在应用状态能控性的这一条件时,应特别注意,必须将式(3