清华兴业MBA培训微 积分讲义.doc

第一讲
第一章函数、极限连续(予备知识)
重点:函数性质与函数的图形
函数是微积分的研究对象,因此在课程的开始,要先对函数部分加以复****要求对函数的概念、表示方法、,故需要介绍一下,因为不考试,故不作复****重点,不作任何要求,也不做练****题.
一、函数
(一)函数的概念

【】设在某一变化过程中有两个变量和,若对非空集合中的每一点,都按照某一对应规则,有惟一确定的实数与之相对应,则称是的函数,记作
称为自变量,称为因变量,称为函数的定义域,的取值范围即集合称为函数的值域.
平面上点的集合称为函数的图形.
定义域(或记).

函数的表示方法一般有三种:解析法、表格法、,表格法和图示法直观,解析法便于运算,在实际中经常结合使用.

由解析式表示的函数,其定义域是指使该函数表达式有意义的自变量取值的全体,这种定义域称为自然定义域,自然定义域通常不写出,需要我们去求出,因此必须掌握一些常用函数表达式有意义的条件.
(二)函数的几何特性

(1)【】设函数在实数集上有定义,对于内任意两点,当<时,若总有≤成立,则称内单调递增(或单增);若总有<成立,则称在内严格单增,,又称内的单调递增函数.
类似可以定义单调递减或严格单减.
单调递增或单调递减函数统称为单调函数.
(2)可以用定义证明函数的单调性,对几个常用的基本初等函数,可以根据熟悉的几何图形,,我们将利用导数来求其单调区间.

【】设函数,若存在实数>0,使得对任意,都有≤,则称在内有界,或称为内的有界函数.
【】设函数,若对任意的实数>0,总可以找到一,使得>,则称在内无界,或称为内的无界函数.
有界函数的图形完全落在两条平行于轴的直线之间.
函数是否有界与定义域有关,如(0,+∞)上无界,但在[1,e]上是有界的.
有界函数的界是不惟一的,即若对任意,都有≤,则也一定有≤.

【】设函数在一个关于原点对称的集合内有定义,若对任意,都有,则称为D内的奇(偶)函数.
奇函数的图形关于原点对称,当为连续的函数时,=0,:
设为奇函数,为偶函数,则
为奇函数;为偶函数;
非奇偶函数;
为奇函数;均为偶函数.
常数C是偶函数,因此,奇函数加非零常数后不再是奇函数了.
、函数作图都有很大帮助.
【例】判断下列函数的奇偶性:
(1);
(2)
【解】(1)因为


所以是奇函数.
(2)因为

【】设函数,如果存在非零常数T,使得对任意,恒有成立,,称为的基本周期,简称周期.
我们熟知的三角函数为周期函数(考纲不要求),-1(a)和图1-1(b)所示.
图1-1
(三)初等函数

(1)常数函数,定义域为(-∞,+∞),.
(2)幂函数,,总在(1,+∞)内有定义,且图形过点(1,1).当>0时,函数图形过原点(图1-2)
(a) (b)
图1-2
(3)指数函数,其定义域为(-∞,+∞).
当0<<1时,>1时,(0,1).微积分中经常用到以为底的指数函数,即(图1-3)
(4)对数函数,其定义域为(1,+∞),,记作,(1,0)(图1-4)
(图1-3) (图1-4)

另有两类基本初等函数:三角函数与反三角函数,不在考纲之内.
对基本初等函数的特性和图形要熟练地掌握,这充分条件判断、,设″<0.
则(1)′在内严格单调减少;(2)在上为凸弧,均不充分.
此题可以用举例的方法来说明(1)、(2),为凸弧.′=在(-∞,∞+)上严格单调递减,但″=-12≤0,因此(1),(2)均不充分,″≤0,则(1),(2)均充分,