2022年2022年高考数学试卷 2.pdf

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分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O 的一段圆弧 （P
为此圆弧的中点）和线段 MN 构成．已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距
离为 50 米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形
ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△ CDP，要求 A，B 均在线段 MN 上，C，D 均在圆
弧上．设 OC与 MN 所成的角为 θ．
（1）用 θ分别表示矩形 ABCD和△CDP的面积，并确定 sin θ的取值范围；
（2）若大棚 I 内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的
单位面积年产值之比为 4：3．求当 θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产
值最大．
18．（16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy中，椭圆 C过点（ ），焦点 F1
（﹣ ，0），F2（ ，0），圆 O 的直径为 F1F2．
（1）求椭圆 C及圆 O 的方程；
（2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P．
①若直线 l 与椭圆 C有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；
②直线 l 与椭圆 C交于 A，B 两点．若△ OAB的面积为 ，求直线 l 的方程．19．（16 分）记 f ′（x），g′（x）分别为函数 f（x），g（x）的导函数．若存在 x0
∈R，满足 f（x0）=g（x0）且 f ′（x0）=g′（x0），则称 x0 为函数 f（x）与 g（x）的
一个 “�点”．
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（1）证明：函数 f（x）=x 与 g（x）=x +2x﹣2 不存在 “�点”；
（2）若函数 f（x）=ax2﹣1 与 g（x）=lnx 存在 “�点”，求实数 a 的值；
（3）已知函数 f（x）=﹣x2+a，g（x）= ．对任意 a＞0，判断是否存在 b＞0，
使函数 f（x）与 g（x）在区间（ 0，+∞）内存在 “�点”，并说明理由．
20．（16 分）设 { an} 是首项为 a1，公差为 d 的等差数列， { bn} 是首项为 b1，公比
为 q 的等比数列．
（1）设 a1=0，b1=1，q=2，若| an﹣bn| ≤ b1 对 n=1，2，3，4 均成立，求 d 的取
值范围；
（2）若 a1=b1＞0，m∈N*，q∈（ 1， ] ，证明：存在 d∈R，使得 | an﹣bn| ≤
b1 对 n=2，3，⋯ ，m+1 均成立，并求 d 的取值范围（用 b1，m，q 表示）．
数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，
并在相应的答题区域内作答 .若多做，则按作答的前两小题评分 .解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤 .A.[ 选修 4-1：几何证明选讲 ]（本小题满分 10 分）
21．（10 分）如图，圆 O 的半径为 2，AB为圆 O 的直径，P为 AB 延长线上一点，
过 P 作圆 O 的切线，切点为 C．若 PC=2 ，求 BC的长．B.[ 选修 4-2：矩阵与变换 ] （本小题满分 10 分）
22．（10 分）已知矩阵 A=