一阶线性微分方程组.doc

:形如??????????????),,,,(),,,,(),,,,(2121222111nnnnnyyyxfdxdyyyyxfdxdyyyyxfdxdy?????()的方程组,(其中nyyy,,,21?是关于x的未知函数)叫做一阶微分方程组。若存在一组函数)(,),(),(21xyxyxyn?使得在[a,b]上有恒等式),,2,1))((,),(),(,()(21nixyxyxyxfdxxdynii????成 立, 则)(,),(),(21xyxyxyn?称为一阶微分方程组(),,,21?的解??????????),,,,(),,,,(),,,,(xy????????称为()通解。如果通解满方程组?????????????0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(yyyx????????则称这个方程组为()的通积分。满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001nnyxyyxyyxy????的解,叫做初值问题的解。令n维向量函数Y)(x=????????????)()()(21xyxyxyn?,F(x,Y)=????????????),,,,(),,,,(),,,,(21212211nnnnyyyxfyyyxfyyyxf?????????????????????????dxdydxdydxdydxxdYn?)(21,???????????????????????xxxxnxxxxdxxfdxxfdxxfxF)()()()(21?则()可记成向量形式),,(YxFdxdY?()初始条件可记为Y(0x)=0Y,其中?????????????noyyyY?20100则初值问题为:???????00)(),(YxYYxFdxdY()一阶线性微分方程组:形如??????????????????????????)()()()()()()()()()()()(212112222212**********xfxayxayxadxdyxfxayxayxadxdyxfxayxayxadxdynnnnnnnn?????()的一阶微分方程组,(x)=??????????)(a)(a)(a)(nnn11n11xxxxa????及F()x=????????????)()()(21xfxfxfn?则()的向量形式:)()(xFYxAdxdY??()F(0)?x时YxAdxdY)(?()称为一阶线性齐次方程组,()式称为一阶线性非齐次方程组。在()式A(,的每一个元素都为常数)x即A(??????????????nnn2n12n22211n1211aaaaaaaa)?????aAx)(xFAYdxdY??()?()(一阶线性微分方程组解存在唯一性定理):如果线性微分方程组)()(xFYxAdxdY??中的A)(x及F)(x在区间I=??ba,上连续,则对于??ba,上任一点0x以及任意给定的Y0,方程组)()(xFYxAdxdY??的满足初始条件的解在??ba,上存在且唯一。1)向量函数线性相关性及其判别法则定义:设)(),(),(21xYxYxYm?是m个定义在区间I上的n维向量函数。如果存在m个不全为零的常数,,,,?使得0)()()(2211????xYCxYCxYCmm?恒成立,则称这m个向量函数在区间I上线性相关;否则它们在区间I上线性无关。判别法则:①定义法②朗斯基(Wronski)行列式判别法:对于列向量组成的行列式)()()()()(1111xyxyxyxyxWnnnn?????通常把它称为n个n维向量函数组)(),(),(21xYxYxYn?的朗斯基(Wronski)行列式。定理1如果n个n维向量函数组)(),(),(21xYxYxYn?在区间I线性相关,则们的朗斯基(Wronski)行列式)(xW在I上恒等于零。逆定理未必成立。如:??????????????0)(Y02)(221xxxxY朗斯基行列式)(xW在I上恒等于零,但它们却是线性无关。定理2如果n个n维向量函数组)(),(),(21xYxYxYn?的朗斯基(Wronski)行列式)(xW在区间I上某一点0x处不等于零,即,0)(0?xW则向量函数组)(),(),(21xYxYxYn?在区间I线性无关。逆定理未必成立。同前例。但如果)(),(),(21xYxYxYn?是一阶线性齐次微分方程组YxAdxdY)(?的解,则上述两定理及其逆定理均成立。即定理3一阶