特征值与特征向量概念.ppt

第四章
特征值和特征向量、
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第一节 特征值与特征向量
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一 特征值与特征向量的概念
二 特征值和特征向量的求法
第一节 特征值与特征向量
三 特征值和特征向量的性质
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、施密特正交化方法、正交矩阵

第三节　实对称矩阵的相似对角化
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一、内积的定义与性质
1、定义
设ｎ维实向量
称实数
为向量α与β的内积，记作
注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有
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２、性质
（1）对称性：
（2）线性性：
（3）正定性：
当且仅当
时
推广性质：
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１、长度的概念
二、向量的长度与夹角
令
为ｎ维向量α
的长度（模或范数）.
特别
长度为１的向量称为单位向量.
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（1）正定性：
（2）齐次性：
（3）三角不等式：
２、性质
（4）柯西－施瓦兹（Cauchy－Schwarz）不等式:
当且仅当α与β的线性相关时，等号成立.
注
①当
时，
②由非零向量α得到单位向量
是α的单位向量.
称为把α单位化或标准化.
的过程
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３、夹角
设α与β为ｎ维空间的两个非零向量，α与β的夹
角的余弦为
因此α与β的夹角为
例
解
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三、正交向量组及其求法
1、正交
当
，称α与β正交.
注
① 若 　　，则α与任何向量都正交.
②
③ 对于非零向量α与β，
2、正交组
若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则
这个向量组称为正交向量组，简称正交组.
3、标准正交组
由单位向量组成的正交组称为标准正交组.
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定理
4、性质
正交向量组必为线性无关组.
定理
若向量β与
β与
中每个向量都正交，则
的任一线性组合也正交.
5、正交基
若正交向量组
则称
为向量空间Ｖ上的一个正交基.
为向量空间Ｖ上的一个基，
6、标准正交基
若标准正交组
则称
为向量空间Ｖ上的一个标准正交基.
为向量空间Ｖ上的一个基，
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7、施密特（Schmidt）正交化法
设
是向量空间Ｖ的一个基，要求向量空
间Ｖ的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单
位向量
，使
与
等价，
此问题称为把
这组基标准正交化.
1）正交化
令
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就得到Ｖ的一个标准正交向量组.
Ｖ的一组标准正交基.
如果
上述方法称为施密特（Schmidt）正交化法.
2）标准化
令
是Ｖ的一组基，则
就是
注
则
两两正交，且与
等价.
上述方法中的两个向量组对任意的
与
都是等价的.
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四、应用举例
例1
证明：　中，勾股定理
成立
的充要条件是　　正交.
解
所以
成立的充要条件是
即　　正交.
已知三维向量空间中，
例2
正交，
试求
是三维向量空间的一个正交基.
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解
设
则
即
例4
已知向量
求　的一个标准正交基.
解
设非零向量　　 都于　正交，
即满足方程
或
其基础解系为
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令
1）正交化
令
2）标准化
令
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五、正交矩阵和正交变换
1、定义
如果ｎ阶矩阵满足：
则称Ａ为正交矩阵.
则
可表示为
若Ａ按列分块表示为Ａ＝
亦即
其中
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① Ａ的列向量是标准正交组.
的一个标准正交基.
正交矩阵Ａ的ｎ个列（行）向量构成向量空间
2、正交矩阵的充要条件
② Ａ的行向量是标准正交组.
注
3、正交变换
若Ｐ为正交矩阵，则ｙ=Ｐｘ线性变换称为正交变换.
设ｙ=Ｐｘ为正交变换，则有
经正交变换后向量的长度保持不变,内积保持不变,
注
从而夹角保持不变.
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判断下列矩阵是否为正交矩阵.
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定理　对称矩阵的特征值为实数.
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵．
定理　对称矩阵的互异特征值对应的特征向量正交.
定理　若ｎ阶对称阵Ａ的任　重特征值　对应的线性
无关的特征向量恰有　个．（不证）
定理　若Ａ为ｎ阶对称阵，则必有正交矩阵Ｐ，使得
六、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质
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根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化
为对角矩阵，其具体步骤为：
将特征向量正交化;
3.
将特征向量单位化.
4.
2.
1.
二、利用