例析立体几何中排列组合问题.doc

例析立体几何中排列组合问题.doc例析立体几何中的排列组合问题
春晖中学 过月圆
在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应用的观点。立体几何与排列组合综合问题是高考命题的新趋势，体现了《考试大纲》要求的在知识交汇处命题的指导思想，
例析立体几何中的排列组合问题
春晖中学 过月圆
在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应用的观点。立体几何与排列组合综合问题是高考命题的新趋势，体现了《考试大纲》要求的在知识交汇处命题的指导思想，应引起考生的重视。立体几何中的计数问题也是高考的热点题型，解决这类问题的基本方法是以点带面法，下面列举立体几何中排列、组合问题的几个例子。
点
1．1 共面的点
例 1（1997 年全国高考（文））
四面体的一个顶点为 A ，从其它顶点与棱的中点中取 3 个点，使它们和点 A 在同一平面上，不同的取法有（ ）
A． 30 种 B．33 种 C． 36 种 D．39 种
解析：四面体有
4 个顶点， 6 条棱有 6 个中点，每个面上的 6 个点共面。点 A 所
在的每个面中含
A 的 4 点组合有
个，点 A 在 3 个面内，共有
个组合；点
A 在 6 条棱的 3
条棱上，每条棱上有
3 个点，这 3
点与这条棱对棱的中点共面。
所以与点 A 共面的四点组合共有
个。
答案： B
点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属
97 文科试题中难度最大的选
择题，失误的主要原因是没有把每条棱上的
3 点与它对棱上的中点共面的情况计
算在内。
1．2 不共面的点
例 2（1997 年全国高考（理））
四面体的顶点和各棱中点共 10 个点，在其中取 4 个不共面的点，不同的取法共有（ ）
A． 150 种 B．147 种 C．144 种 D．141 种
解析：从

10 个点中任取

4 个点有

种取法，其中

4 点共面的情况有三类：第一
类，取出的 4 个点位于四面体的同一个面内，有 种；第二类，取任一条棱上
3 个点及对棱的中点，这 4 点共面有 6 种；第三类，由中位线构成的平行四边形，它的 4 个顶点共面，有 3 种。
以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有 种。
答案： D。
点评：此题难度很大，是当时高考中得分最低的选择题，对空间想像能力要求高，很好的考察了立体几何中点共面的几种情况；排列、组合中正难则反易的解题技巧及分类讨论的数学思想。
直线
3（2005 年全国高考卷 Ⅰ（理））
过三棱柱任意两个顶点的直线共 15 条，其中异面直线有（ ）
A． 18 对 B．24 对 C．30 对 D ．36 对
分析：选项数目不大，若不宜用公式直接求解，可考虑用树