数学学科导论.ppt

12016-10-193436722016-10-19实变函数论的产生实变函数论的产生及其意义及其意义朱文莉******@-10-19实变函数论是数学专业的一门重要的基础课程, 通过学****使学生掌握近代抽象分析的基本思想, 加深对数学分析知识的理解, 深化对中学数学有关内容的认识, 同时为今后学****泛函分析、函数论、概率论、微分方程、拓扑学、金融随机分析等课程提供必要的测度论和积分论的基础, -10-19世界数学发展史,一般划分为四个时期:数学的产生(公元前3000年─公元前5世纪);常量数学即初等数学(公元5世纪─公元17世纪);变量数学即近代数学(公元17世纪─19世纪末);现代数学(19世纪─至今);52016-10-19变量数学发展的第二个决定性步骤, 是英国的牛顿和德国的莱布尼兹完成了微积分的创建. 微积分是17世纪发现的最伟大的数学工具. 有了它, 数学研究的许多崭新的、:“在一切理论成就中,未必再有什么象17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利”.微积分在数学发展中的地位是十分重要的, 它是继欧几里得几何学之后, 全部数学中的一个最伟大的创造. 但是微积分的发展经历了漫长而曲折的道路, 才成为数学中的一大部门——数学分析, -10-19一、牛顿、莱布尼兹的微积分 17世纪是科学技术发展的一个重要时期, 在这一时期有许多科学问题需要解决, 这些问题也就成了促使微积分产生的重要因素. 归结起来, 大体有四类问题:第一类问题是研究物体运动时直接表现出来的, 也就是求瞬时速度的问题; 第二类问题是求曲线的切线问题; 第三类问题是求函数的最大最小值问题; 第四类问题是求曲线的长度、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心以及一个体积相当大的物体作用于另一个物体产生的引力等问题. 17世纪许多著名的数学家、天文学家对上述问题作了大量的研究工作, 如费马、笛卡尔、开普勒等都提出过许多有价值的理论, -10-19牛顿研究微积分着重于以运动来考察. 1669年在一篇名为《运用无穷多项分析学》的论文中, 牛顿不仅给出了求一个变量对另一个变量瞬时变化率的普遍方法, 而且还证明了面积可由求变化率的逆过程得到, 因为面积也正是用无穷小面积的和来表示的. 莱布尼兹是德国博学的哲学家和著名的数学家, 他在研究求曲线切线和求曲边梯形的面积中, 独立地建立了一套微积分理论. 他注意到求曲线的切线需要确定曲线的纵坐标之差和横坐标之差的比,而求曲边梯形的面积, 则需要确定曲线的纵坐标之和,于是他把微分问题与积分问题联系起来, 把两者看作互逆运算, 从而创立了一套关于无限小量的“求差法”和“求和法”,即微分学和积分学. 牛顿和莱布尼兹在创建微积分上的基本功绩是把前人在实际中应用的某一方法加以概括和提升使之变成适合一般的运算方法, , 稍后讲82016-10-19微积分继续发展的三个方向外微分形式(整体微分几何)(微积分基本定理如何在高维空间得到体现)复数域上的微积分(复变函数)微积分的深化和拓展(实变函数)-10-19黎曼积分问题举例1. 曲边梯形的面积矩形面积ahha?ahb梯形面积)(2bah??)(xfy??A?设曲边梯形是由连续曲线)0)(()(??xfxfy,轴及x以及两直线bxax??,所围成,求其面积A .102016-10-191xix1?ixxabyo解决步骤:1)[a , b]中任意插入n –1 个分点bxxxxxann????????1210?],[1iiixx???用直线ixx?将曲边梯形分成n个小曲边梯形;2)],[1iixx?为底,)(if?为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积,iA?得1( ) ( ), 1, 2, ,i i i i i iA f x x x x i n??? ? ??????i?