数学学科专题史丛书 代数拓扑和微分拓扑简史.pdf

数学建模培训-微分方程模型上海第二工业大学理学院邢丽2013年3月一、什么是微分方程??最最简单的例子一曲线通过点(1,2),且在该曲线任一点M( x ,y )处的切线的斜率为2x,求该曲线的方程。解因此, x? ?若设曲线方程为,( ) (1)y f x?又因曲线满足条件1| 2xy??根据导数的几何意义可知未知函数满足关系式:2 (2)dyxdx?对(1)式两端积分得:22 (3)y xdx x C? ???代入(3)得C=1 回答什么是微分方程:?建立关于未知变量、?未知变量的导数以及?自变量的方程' 2y x?)20(?????kdtddMMdt???,xyy??,32xeyyy??????二、微分方程的解法?积分方法,分离变量法可分离变量的微分方程dxxfdyyg)()(??例如,2254dxxdyy???解法设函数)(yg和)(xf是连续的,???dxxfdyyg)()(设函数)(yG和)(xF是依次为)(yg和)(xf的原函数,CxFyG??)()(?解分离变量,2xdxydy?两端积分,2???xdxydy12lnCxy??.2为所求通解xCey??例题过定点的积分曲线;???????00),(yyyxfyxx一阶:二阶:?????????????0000,),,(:)1(d2???yxxyx解:分离变量得xxxyyd1d2???两边积分得Cxyln11lnln2???即Cxy??12由初始条件得C = 1,112??xy( C为任意常数)故所求特解为1)0(?y一、求下列微分方程的通解: 1、0tansectansec22??xdyyydxx; 2、0)()(??????dyeedxeeyyxxyx; 3、0)1(32???、求下列微分方程满足所给初始条件的特解: 1、xdxyydyxsincossincos?,40???xy; 2、0sin)1(cos????ydyeydxx,40???