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一元线性回归模型
南开大学数学科学学院
白晓棠
何为“回归”?
回归一词最先由弗朗西斯·高尔顿(Francis Galton )引入。
高尔顿发现,虽然有个趋势——父母高,儿女也高;父母矮儿女也矮,但是给定父母的身高儿女的平均身高却趋向于或者“回归”到全体人口的平均身高。
高尔顿的普遍回归定律(law of universal regression)被他的朋友卡尔·皮尔逊证实了。
何为“回归”?
考虑高尔顿的普遍回归定律,我们想回答这样一个问题,给定父辈的身高如何预测儿辈的身高?
考虑右侧的散点图,假设该图上的点表示给定父亲身高时测量得到的儿子的身高。
可以看出随着父亲身高的增加,儿子的身高也增加。
何为“回归”?
画一“尽量靠近”所有散点的曲线可以推测回归线是斜率为负数的直线。
为了更清晰的看清这种趋势,我们画一条直线使之“尽量靠近”所有点,此线称为回归线(regression line).
考察某个超市中容量为1升的可乐的售价与销量之间的关系,尽管相同售价时销量并不一定相同,但是多次试验后可以看出随价格增加销量减少的普遍规律。
何为“回归”?
研究货币工资变化率和失业率的关系,右图中给出了历史数据所表现的散点图
图中的曲线是把货币工资变化率同失业率联系起来的著名的菲利普斯曲线(Phillips curve)之一例。
这次的回归线是一条曲线。
统计关系与确定性关系
(1)确定关系
两个物体之间的引力与它们的质量的关系;
弹力与弹簧伸长量之间的关系。
(2)统计关系
消费与收入的关系;
儿子身高与父亲身高的关系;
农作物收成对气温、降雨、阳光以及施肥的依赖关系。
我们这门课程主要研究的是统计关系!
回归分析
因变量(Dependent variable);被解释变量(Explained variable);预测子(Predictand);回归子(Regressand);响应;内生;结果;被控变量。
自变量(Independent variable);解释变量(Explainatory variable);预测元(Predictor);回归元(Regressor) ;刺激变量;外生;共变;控制变量。
回归分析研究一个变量对另一(些)变量的依赖关系,但它并不一定意味着因果关系。
何为“一元”、“多元”?
一元回归分析(simple regression analysis):研究一个变量对一个自变量的依赖关系,如消费支出对实际收入的依赖。
多元回归分析( multiple regression analysis ):研究一个变量对多于一个自变量的依赖关系,如农作物的收成依赖于降雨、气温、阳光和施肥。
何为“线性”?
两个变量之间的统计关系:
其中变量u被称为关系式中的误差项(error term)或者干扰项(disturbance)。
“线性”回归一词总是指对参数为线性的一种回归;对解释变量X则可以是或不是线性的。
线性
非线性
几个一元线性回归的例子
假设大豆收成由以下模型决定
一个人的工资水平与他的可测教育水平及其他非观测因素的关系
期末考试分数取决于出勤率和影响考试成绩的其他无法观测因素