勾股定理证明方法及论文.docx

勾股定理论文
初一（5）班 庞博睿
一、勾股∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º
∴ AD∥B
∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于
∴
∴
【证法5】
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c。 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上。 过C作AC的延长线交DF于点P。
∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
∴ ∠EGF = ∠BED
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°
∴ ∠BED + ∠GEF = 90°
∴ ∠BEG =180º―90º= 90º
又∵ AB = BE = EG = GA = c
∴ ABEG是一个边长为c的正方形.
∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º
∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD
∴ ∠ABC = ∠EBD
∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º
即﹕∠CBD= 90º
又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º
BC = BD = a
∴ BDPC是一个边长为a的正方形.
同理，HPFG是一个边长为b的正方形.
设多边形GHCBE的面积为S，则﹕
∴
 
【证法6】
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c。 再做一个边长为c的正方形。 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上。
过点Q作QP∥BC，交AC于点P.
过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点
F作FN⊥PQ，垂足为N。
∵ ∠BCA = 90º，QP∥BC
∴ ∠MPC = 90º
∵ BM⊥PQ
∴ ∠BMP = 90º
∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90º
∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º
∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º
∴ ∠QBM = ∠ABC
又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c
∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA
同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF
从而将问题转化为【证法4】。
【证法7】
做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B 三点在一条直线上，连结
BF、CD. 过C作CL⊥DE，
交AB于点M，交DE于点L。
∵ AF = AC，AB = AD
∠FAB = ∠GAD
∴ ΔFAB ≌ ΔGAD
∵ ΔFAB的面积等于，
ΔGAD的面积等于矩形ADLM
的面积的一半，
∴ 矩形ADLM的面积 =
同理可证，矩形MLEB的面积 =
∵ 正方形ADEB的面积
= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
∴ ，即
【证法8】（利用相似三角形性质证明）
如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D。
在ΔADC和ΔACB中，
∵ ∠ADC = ∠ACB = 9