第一章 量子力学基础-2.pdf

§1-3 量子力学中的力学量和算符
一、算符的一般概念
1、定义
算符即运算规则。它作用在一个函数ψ(x)上即是对ψ(x)进行某
种运算,得到另一个函数ϕ(x)
ˆ= ϕψxxF )()(
d
例: Dˆ=
dx
ˆ= xxfxfx )()(
ˆ= xfxfI )()(
ˆ xf = 0)(0
2、乘法与对易
ˆ≡ˆ(BABA ˆψψ)
算符的乘法服从结合律: ˆ( ˆˆ= () ˆˆ)CBACBA ˆ
算符的乘法一般不服从交换律: AˆB ≠ Bˆˆ Aˆ
例如:
d
ˆˆ xfxD +== xxfxfxxf )(')()()( ˆ
dx ˆ= xxfxfDx )(')(
Dˆxˆ= Iˆ+ xˆDˆ≠ xˆDˆ
若对任意Ψ,都有:
ˆ= ˆˆ ABBA ˆψψ
则称Aˆ和Bˆ对易:
引入记号: ˆˆˆˆ≡−[ ˆ, BAABBA ˆ]
则算符的对易式可记为: [ ˆ, BA ˆ= 0]
易证:
[ ˆ, ˆ] = IxD ˆ
[ ˆ, ˆ x ] = ipx
可定义算符的n次方为:
An = AA⋅⋅⋅ Aˆˆˆˆ
可定义算符的多项式和算符的函数。例如:
∞ n
ˆ Aˆ
e A = ∑
n n!
3、线性算符
设 C1 , C2 为常数,若算符满足:
ˆˆˆ
( ) F Ψ+Ψ=Ψ+Ψ 22112211
则称其为线性算符。
例如,下列算符为线性算符:
∂∂2
,, ˆ, pH ˆ
∂∂∂ yxx x
量子力学态叠加原理要求力学量算符必须是线性算符
4、本征函数、本征值
算符Fˆ的本征值方程:
ˆ= λψψxxF )()(
λ为算符Fˆ的本征值,ψ x)( 为算符Fˆ的本征值为λ的本征函数。
例如,e2x 是微商算符的本征函数:
d
ˆeD 2x 2x == 2ee 2x
dx
定态薛定谔方程:
ˆ= EH ψψ
它是哈密顿算符的本征方程,波函数ψ是哈密顿算符的本
征函数,能量 E 是哈密顿算符的本征值。
定理:线性算符的简并本征函数的线性组合仍是该算符属于同
一本征值的本征函数。
例如:
ˆˆ
F 1 = 1 , F 2 = λψψλψψ2
则:
ˆˆˆ
( ) 22112211 λ( F Ψ+Ψ=Ψ+Ψ=Ψ+Ψ 2211 )
5、厄米(Hermite)算符
一个算符如果满足如下关系,则称为厄米算符:
*
* ˆ= ∫∫( ˆ) dFdF τψϕτϕψ
其中积分遍及整个空间,函数ψ, ϕ是任意的品优函数。
动量算符是厄米算符:
∞+ * d ⎡* ∞+ ∞+ d * ⎤
−i
)( −= idx
−ψϕϕψϕψ)(| dx
∫∞−∞−∫∞−
dx ⎣⎢ dx ⎦⎥
∞+ d ∞+ d *
= i
ψϕ)( * dx −= i
ψϕ)( * dx +∞
∫∞−∫∞−= ( ˆψϕ) dxp
dx dx ∫∞− x
定理:若两个厄米算符Aˆ和Bˆ对易,即 AˆB = Bˆˆ Aˆ,
则乘积算符AˆBˆ是厄米的。
证明: 考虑积分
* *
∫* ( ˆˆ= ∫() ˆ) ˆ= ∫( ˆˆ) dABdBAdBA τϕψτϕψτϕψ
假如AˆBˆ是厄米算符,按照定义有:τϕψ
*
∫* ( ˆˆ= ∫() ˆˆ) dBAdBA τϕψ
比较上两式,有: τϕψ
ˆˆ* ˆˆ*
即必有: ∫( = ∫() ) dBAdAB τϕψ
AˆB = Bˆˆ Aˆ
易证:厄米算符乘上实常数仍为厄米算符,厄米算符之和仍为厄
米算符。
可以证明,量子力学中的力学量算符都是厄米的。
例如:
ˆ
rV )( rˆ pˆ 2
2
ˆ pˆ
T = += VTH ˆˆˆ
2m