精品PPT课件----第5讲 差分方程模型.ppt

第五讲差分方程模型
一差分方程模型
二差分方程解法
三差分方程的平衡点及稳定性
四建模案例
五用Matlab求解差分方程问题
对一数列{an},把数列中的an和前面的ai(0<=i<n)关联起来的方程叫差分方程,也叫递推关系。
例:设第一月初有雌雄各一的一对小兔。假定两月后长成成兔,同时从第三个月开始每月初产雌雄各一对一对小兔,新增小兔也按次规律繁殖。设第n月末共有Fn对兔子,试建立关于Fn的差分方程。
解:因为第n月末的兔子包括两部分,一部分为上月留下的,另一部分为当月新生的,而由题设当月生的小兔等于前月末的兔子数,所以有
Fn=Fn-1+ Fn-2 ,F1=F2=
一差分方程模型
1.  常系数线性齐次差分方程的解法
形如an+b1an-1+b2an-2+…+bkan-k=0(1)(其中bi为常数,bk≠0,n>=k.)的差分方程,称为{an}的k阶常系数线性齐次差分方程。
Xk+b1xk-1+…+bk=0为上述差分方程的特征方程,其根称为特征根。
解分为三种情况:
(1)       单根
若差分方程(1)的特征方程Xk+b1xk-1+…+bk=0有k个相异的特征根x1,x2,…,xk,则an=c1x1n+c2x2n+…+ckxkn是一个通解,其中ci为常数,由初始条件a0=u0,a1=u1,…,ak-1=uk-1可确定一个满足初始条件的特解。
二差分方程解法
(2) 重根
若差分方程(1)的特征方程Xk+b1xk-1+…+bk=0的相异特征根x1,x2,…,xt ,重数依次为m1,m2,…,mt, m1+m2+…+mt=k,则差分方程的通解为
(3)       共轭复根
若差分方程(1)的特征方程Xk+b1xk-1+…+bk=0有一对共轭复根, 和相异的k-2个实根x3,…,xk,则差分方程的通解为,
其中
常系数线性非齐次差分方程的解法
形如an+b1an-1+b2an-2+…+bkan-k=f(n)(1)(其中bi为常数,bk≠0,n>=k,f(n) ≠0)的差分方程,称为{an}的k阶常系数线性非齐次差分方程。
非齐次差分方程的通解等于对应的齐次差分方程的通解加上非齐次差分方程的一个特解。
2.
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三、差分方程的平衡点及稳定性
1.  一阶线性常系数差分方程的平衡点及稳定性
一阶线性常系数差分方程
xk+1+axk=b,k=0,1,2,…(1)
的平衡点由x+ax=b解得,为,当
时,若xkx*,则x*是稳定的。
方程(1)的平衡点的稳定性问题可以通过变量代换转换为齐次方程
xk+1+axk=0,k=0,1,2…(2)
的平衡点x*=0的稳定性问题。而对于方程(2),其解可以表示为
xk=(-a)kx0, k=1,2,…(3)
所以当且仅当|a|<1时,方程(2)(从而方程(1))的平衡点是稳定的。
对于n维向量x(k)和n╳n常数矩阵A构成的方程组
x(k+1)+Ax(k)=0
其平衡点稳定的条件是A的特征根λi,I=1,2,…,均有|λi|<1。
2.  二阶线性差分方程的平衡点及稳定性
考察二阶线性差分方程xk+a1xk+1+a2xk+2=0 (4)
在平衡点x*=0的稳定性。为求(4)的通解,先写出他的特征方程
记它的根为λ1,λ2,则(4)的通解可以表示为
,其中常数c1,c2由初始条件x0,x1确定,从而可知,当且仅当|λ1|<1, |λ2|<1时方程(4)的平衡点是稳定的。
3  一阶非线性差分方程的平衡点及稳定性
考察一阶非线性差分方程xk+1=f(xk) (7)
的平衡点的稳定性。其平衡点x*由x=f(x)解出。将(7)的右端在x*点做泰勒展开,只取一次项,则(7)可以近似为:
(8)
x*也是(8)的平衡点。线性方程(8) 的平衡点的稳定性讨论同(1),而当|f’(x*)|≠1时(7)与(8)的平衡点的稳定性相同。从而有:
当|f’(x*)|<1时,方程(7)的平衡点是稳定的;
当|f’(x*)|>1时,方程(7)的平衡点是不稳定的。
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