直线系、圆系方程.doc

直线系、圆系方程 1 、过定点直线系方程在解题中的应用过定点( 0x ,0y )的直线系方程: 0 0 ( ) ( ) 0 A x x B y y ? ???( A,B 不同时为 0). 例1求过点( 1 4) P?, 圆 2 2 ( 2) ( 3) 1 x y ? ???的切线的方程. 分析:本题是过定点直线方程问题,可用定点直线系法. 解析:设所求直线的方程为( 1) ( 4) 0 A x B y ? ???(其中 A B , 不全为零), 则整理有 4 0 Ax By A B ? ???, ∵直线 l 与圆相切, ∴圆心(2 3) C, 到直线 l 的距离等于半径 1 ,故 2 2 2 3 4 1 A B A B A B ? ????, 整理,得(4 3 ) 0 A A B ? ?,即0A?(这时 0B?) ,或304 A B ? ?. 故所求直线 l 的方程为 4y?或 3 4 13 0 x y ? ??. 点评: 对求过定点(0x ,0y ) 的直线方程问题, 常用过定点直线法, 即设直线方程为: 0 0 ( ) ( ) 0 A x x B y y ? ???, 注意的此方程表示的是过点 0 0 ( ) P x y , 的所有直线(即直线系) ,应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制,在实际解答问题时可以避免分类讨论,有效地防止解题出现漏解或错解的现象. 练****过点( 1 4) P?, 作圆 2 2 ( 2) ( 3) 1 x y ? ???的切线 l ,求切线 l 的方程. 解:设所求直线 l 的方程为( 1) ( 4) 0 A x B y ? ???(其中 A B , 不全为零), 则整理有 4 0 Ax By A B ? ???, ∵直线 l 与圆相切, ∴圆心(2 3) C, 到直线 l 的距离等于半径 1 ,故 2 2 2 3 4 1 A B A B A B ? ????, 整理,得(4 3 ) 0 A A B ? ?,即0A?(这时 0B?) ,或304 A B ? ?. 故所求直线 l 的方程为 4y?或 3 4 13 0 x y ? ??. 2 、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线 l : 1 1 1 0 Ax B y C ? ??( 1 1 , A B 不同时为 0 )与 m : 2 2 2 0 A x B y C ? ??( 2 2 , A B 不同时为 0 )交点的直线系方程为: 1 1 1 2 2 2 ( ) 0 Ax B y C A x B y C ?? ?????(R??,?为参数) . 例2 求过直线: 2 1 0 x y ? ??与直线: 2 1 0 x y ? ??的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 分