定积分计算.ppt

关于定积分计算
第一页，讲稿共三十八页哦

解:
（一）直接积分法
第二页，讲稿共三十八页哦

解:
（一）凑微分法
第三页，讲稿共三十八页哦
关于定积分计算
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解:
（一）直接积分法
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解:
（一）凑微分法
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（二）定积分的换元积分法
定理
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解:
说明: =2x+1来计算.

当x=0时,u=1;当x=2时,u=5. 所以
注意: 定积分的换元法一定要换积分的上下限.
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解:
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解:
说明:因换元积分法比较麻烦,建议尽可能使用“凑微分”
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例4
证 1） n=0时，显然成立
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练一练
求下列定积分
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练一练（解答）
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（三）定积分的分部积分法
定理
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解:
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两个重要结论
设f(x)在[-a,a]上连续，
(1)若f(x)为奇函数，则
(2)若f(x)为偶函数，则
证明(1)
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例6
移项，得递推公式
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如n=8
有公式
如n=7
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利用上面结论，求下列定积分


提高题：
(1)用定积分求椭圆的面积？
(2)求证：
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广义积分一、无穷限函数的广义积分*
定义 假设对 f(x) 在[a,b] 有定义且可积，
(1) 对于无[a,+∞]上的穷积分
如果 存在，我们称 收敛，
且定义：

否则，称 发散。
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(2) 对于[-∞，b]的无穷积分
如果 存在，我们称 收敛，
且定义：

否则，称 发散。
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（3）对于区间（-∞，+∞）的无穷积分　
如果 =A+B.
如果右边每一个无穷积分都存在，我们称 收敛，
如果其中之一不存在 ，则 发散。
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例1 求
解 首先我们考察求
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例2 讨论广义积分 的敛散性。
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例3 求广义积分 。
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二、无界函数的广义积分
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定义中c为瑕点，以上积分称为瑕积分.
例5 计算广义积分
解
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证
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例7 计算广义积分
解
故原广义积分发散.
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瑕点
解
例8 计算广义积分
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注意
广义积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它与定积分采用同一种表达方式，但其含义却不同，遇到有限区间上的积分时，要仔细检查是否有瑕点。
广义积分中，N-L公式，换元积分公式、分部积分公式仍然成立，不过代入上、下限时代入的是极限值。
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如 无穷限积分
再如 瑕积分
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例9。证明
证
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无穷限的广义积分
无界函数的广义积分（瑕积分）
（注意：不能忽略内部的瑕点）
思考题
积分 的瑕点是哪几点？
三、小结
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积分