2011届高三数学精品复习之(25)导数的应用.doc

2011届高三数学精品复习之导数的应用、复数
。在区间内可导,若>0,则在上递增;若<0,则在上递减. 注意:为正(负)是函数递增(减)充分不必要条件。如果函数f(x)在区间(a,b)内可导且不是常函数,上述结论可以改进为:f(x)在区间(a,b)上单调递增≥0在(a,b)上恒成立;f(x)在区间(a,b)上单调递减≤0在(a,b)上恒成立
[举例1]已知函数若在是增函数,求实数的范围。
解析:≥0在上恒成立在上恒成立
而在上的最小值为16,故。
[举例2]已知定义在R上的函数y=f(x)的导函数f/(x)在R上也可导,且其导函数[f/(x)]/<0,
则y=f(x)的图象可能是下图中的( C )
O
x
y
④
O
x
y
③
A.①② B.①③ C.②③ D.③④
[来源:学§科§网Z§X§X§K]O
x
y
②
O
x
y
①
解析:由[f/(x)]/<0知f/(x)在R上递减,即函数y=f(x)的图象上从左到右各点处的切线斜率递减,不难看出图象②③满足这一要求。
[举例3] f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf/(x)+f(x)≤0,对任意正数a、b,若a<b,则必有( ) (07陕西理11)
(b) ≤bf(a) (a) ≤af(b)
(a) ≤f(b) (b) ≤f(a)[来源:学科网]
解析:xf/(x)+f(x)≤0[xf(x)]/ ≤0函数F(x)= xf(x) 在(0,+∞)上为常函数或递减,
又0<a<b且f(x)非负,于是有:af(a)≥bf(b)≥0 ①②
①②两式相乘得: af(b) ≤bf(a),故选A。
注:本题的难点在对不等式②的设计,需要经验更需要灵感。
[巩固1]函数在)上递增,的取值范围是。
[来源:学&科&网]
[巩固2设是函数的导函数,将和的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( ) (07浙江理8)
[来源:学+科+网Z+X+X+K]y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
A.
B.
C.
D.
[巩固3]函数f(x)、g(x)在R上可导,且f/(x)>g/(x),若a>b,则( )
(a)>g(b) (a)<f(b)
(a) -f(b) <g(a)- g(b) (a) -f(b) >g(a)- g(b)
2.“极值点”不是“点”,而是方程的根。是函数极值点则;但是,未必是极值点(还要求函数在左右两侧的单调性相反);若
(或)恒成立,则函数无极值。
[举例1] 已知函数在处取得极大值,在处取得极小值,且.(1)证明;(2)若z=a+2b,求z的取值范围。[来源:学科网ZXXK][来源:学科网ZXXK]
解析:函数的导数.[来源:学科网]
(Ⅰ)由函数在处取得极大值,在处取得极小值,;当时,为增函数,,由,得.
(Ⅱ)在题设下,等价于即.
:
所围成的的内部,由“线性规划”的知识容易求得:的取值范围为.
[举例2] 已知函数在处有极值10,则
解析: ,∴= ①
②由①②