复变函数教学课件—2-习题课 - 副本.ppt

2 一、重点与难点重点: 难点: 1. 解析函数的概念; 2. 函数解析性的判别 1. 解析函数的概念; 2. 初等函数中的多值函数及主值的概念 3 二、内容提要复变函数导数微分解析函数初等解析函数指数函数三角函数对数函数幂函数性质解析函数的判定方法可 导与微分的关系可导与解析的判定定理双曲函数 4 1)导数的定义. )()( lim d d)( , )(.)(, )()( lim ,, ,)( 000 0 0 0 000 0 0 0z zfzzfz wzf z zfzzf z zfzzf Dzz DzDzfw zzz z???????????????????记作的导数在这个极限值称为可导在那么就称存在如果极限的范围不出点点中的一为定义于区域设函数 1. 复变函数的导数与微分 5. ,)( 可导称在区域内我们就内处处可导在区域如果函数 D Dzf 定义 2)可导与连续函数 f (z ) 在z 0 处可导则在 z 0 处一定连续, 但函数 f(z ) 在z 0 处连续不一定在 z 0 处可导. 3)求导公式与法则.,0)()1( 为复常数??.,)()2( 1 为正整数其中 n nz z nn???).()( )]()([)3(zgzfzgzf ?????? 6??).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf ?????)0)((.)( )()()()()( )()5( 2????????????zgzg zgzfzgzfzg zf)( ).()( )]} ([{)6(zgwzgwfzgf?????其中 0)(, )()(,)( 1)()7(???????w wzzfww zf???且函数两个互为反函数的单值是与其中 7则线性部分的的改变量是函数小的高阶无穷是式中则可导在设函数. )()(, )(,0)( lim ,)()()()( ,)( 0 0 000 0wzfwzzf zzzz zzzzfzfzzfw zzfw z????????????????????????????.)(d ,)()( 0 0 0zzfw zzfwzzf????????记作的微分在点称为函数 4))(zzf ?? 8. )(, 0 0 可微在则称函数的微分存在如果函数在 z zfz.)( 00 可微是等价的可导与在在函数 zzzfw?.)( ,)( 内可微区域在则称内处处可微区域在如果函数 Dzf Dzf 可导与微分的关系 9 1)定义.)(, )( 0 00 解析在那末称导的邻域内处处可及在如果函数 zzf zzzf ).( )(.)( ,)( 全纯函数或正则函数个解析函数内的一区域是或称内解析区域在则称内每一点解析区域在如果函数 DzfDzf Dzf 2. 解析函数.)( ,)( 00 的奇点为那末称不解析在如果函数 zf zzzf 10.)( )()()( 内解析在除去分母为零的点和、差、积、商的与内解析的两个函数在区域 D zgzfDa. )]([, )(, .)( ,)()( 内解析在那末复合函数于都属的对应值函数内的每一个点对如果内解析平面上的区域在函数内解析平面上的区域在设函数 DzgfwG hzgzD Ghhfw Dzzghb??? (c ) 所有多项式在复平面内处处解析. 2)性质. , )()()(点奇使分母为零的点是它的为零的点的区域内解析在不含分母任何一个有理分式函数 zQzPd