含参量反常积分的一致收敛性的判别方法.doc

含参量反常积分的一致收敛性的判别方法
摘要: 本文从含参量反常积分的定义及含参量反常积分的一致收敛的定义出发,叙述了含参量反常积分的一致收敛性的四种判别法,并且给出了一些例子.
关键词: 区域;收敛;一致收敛
前言
含参量反常积分是微积分学中一类重要的积分,研究含参量反常积分及其一致收敛性,:一致收敛定义、魏尔斯特拉斯M判别法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法,并且给出了典型例子以说明每种判别法的特点.

定义1 设函数定义在无界区域上,若对每一个固定的,反常积分
(1)
都收敛,则它的值是在上取值的函数,当记这个函数为时,则有
,, (2) 称式(1)为定义在上的含参量的无穷反常积分,或简称含参量反常积分.

定义2 若含参量反常积分(1)与函数对任给的正数,总存在某一实数,使得当时,对一切,都有
,
即
,
则称含参量反常积分(1)(1)在上一致收敛.
定义3 设函数在区域上有定义,若对的某些值, 为函数的瑕点,则称
(3)
为含参量的无界函数反常积分,或简称含参量反常积分。若对每一个,积分(3)都收敛,其积分值在上一致收敛的定义是
定义4 对任给正数,总存在某正数,使得当时,对一切,都有
,
则称含参量反常积分在上一致收敛.
定理1(一致收敛的柯西准则) 含参量反常积分(1)在一致收敛的充要条件是:对任给正数,总存在某一实数,使得当时,对一切,都有
.
例1 证明含参量反常积分
(4)
在上一致收敛(其中),但在内不一致收敛.
证做变量代换,得
, (5)
,故对任给正数,总存在正数,使当时,就有
.
取,则当时,对一切,由(5)式有
,
所以(4)在上一致收敛.
现在证明(4),只要证明存在某一正数,使对任何实数,总相应地存在某个及某个,使得
.
由于非正常积分收敛,故对任何正数与,总存在某个,使得
.
即
. (6)
现令,由(5)及不等式(6)的左端就有
.
所以(4)在内不一致收敛.
定理2 含参量反常积分在上一致收敛的充要条件是:对任一趋于的递增数列(其中),函数项级数
在上一致收敛.
证明:若在上连续,又
在上收敛,但在处发散,则
在上不一致收敛.
证用反证法,假如积分在上一致收敛,则对于任给,总存在,
当时对一切恒有
.
由假设在上连续,,得到当时,
.
而是任给的,因此在处收敛,这与假设矛盾,所以积分在上不一致收敛.
魏尔斯特拉斯M判别法设有函数,使得
,.
若收敛,则在上一致收敛.
例3 证明含参量反常积分
(7)
在上一致收敛.
证由于对任何实数都有
及反常积分
收敛,故由魏尔斯特拉斯判别法,含参量反常积分(7)在上一致收敛.
狄利克雷判别法设
(i) 对一切实数,含参量正常积分
对参量在上一致有界,即存在正数,对一切及