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一个具有混合核的 Hilbert 型积分不等式

杨必成
(广东教育学院数学系,广东广州 510303)

摘要:本文引入参数及估算权函数,建立一个具有混合核的 Hilbert
用,考虑了逆向形式、相应的等价形式及一些特殊结果.
关键词:Hilbert 型积分不等式; 参数; 权函数; 逆向形式; 等价形式
发表于: 数学的实践与认识,2009 年第 39 卷第 21 期第 149-155 页.

∞∞
设 f , g ≥ 0 , 0 < f 2 (x)dx < ∞及 0 < g 2 (x)dx < ∞.则有如下 Hilbert 型不等式[1] :
∫ 0 ∫ 0
∞∞∞∞
f (x)g( y) dxdy < π{ f 2 (x)dx g 2 (x)dx}1/ 2 ; (1)
∫∫00 x+ y ∫ 0 ∫ 0
∞∞∞∞
f (x)g( y) dxdy < 4 { f 2 (x)dx g 2 (x)dx}1/ 2 , (2)
∫∫00max{x, y} ∫ 0 ∫ 0
这里,常数因子π与 4 (1)以 Hilbert 积分不等式著称,它在分析学有重要应用[2] .
近年,由于引入了独立参数及有效估算权函数,式(1),(2)已被推广为如下形式[3,4] :
∞∞∞∞
f (x)g( y) π 1−λ 2 1−λ 2 1/ 2
λλ dxdy < { x f (x)dx x g (x)dx} ; (3)
∫∫00x + y λ∫ 0 ∫ 0
∞∞∞∞
f (x)g( y) 4 1−λ 2 1−λ 2 1/ 2
λλ dxdy < { x f (x)dx x g (x)dx} , (4)
∫∫00max{x ,y } λ∫ 0 ∫ 0
这里,常数因子π/ λ与 4 / λ(λ> 0) [5,6,7]. 最近,黎
永锦等[8]通过建立及估算权函数,建立了如下具有混合核的 Hilbert 型积分不等式:
∞∞∞∞
f (x)g( y) dxdy < c { f 2 (x)dx g 2 (x)dx}1/ 2 , (5)
∫∫00max{x,y}+x+ y ∫ 0 ∫ 0
这里,常数因子 c(= 2(π− 2arctan 2) = + ) 是最佳值.
类比式(5)左边核的形式,本文由估算权函数入手,建立如下具有最佳常数因子的不等式:
∞∞∞∞
f (x)g( y) dxdy < 2 2 arctan 2{ f 2 (x)dx g 2 (x)dx}1/ 2 , (6)
∫∫00min{x, y}+x+ y ∫ 0 ∫ 0
,还考虑了逆向形式、等价形式及一些特殊结果.
设 b,c > 0, a > − min{b,c}.定义表达式 h(a,b,c) 为
h(a,b,c) := 2 arctan a+c + 2 arctan a+b . (7)
b(a+c) b c(a+b) c
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收稿日期:2006-12-27
基金项目:广东高校自然