考研数学 D10考研基础班(1).ppt

第十章复****课
一、曲线积分的计算法
二、曲面积分的计算法
线面积分的计算
积分学定积分二重积分三重积分
积分域区间域平面域空间域
曲线积分
曲线域
曲面域
曲面积分
定积分:
二重积分:
三重积分:
显然
(一)曲线积分的概念与性质
(二)曲线积分的计算方法
(三)格林公式及其应用
主要内容
一、曲线积分的计算法
(四)线积分的应用
(一)曲线积分的概念与性质
(1)定义
设xoy面上的连续曲线L是分段光滑的,
且有
有限长度,
函数z=f(x,y)在L上有界,
在曲线L上依次
插入分点
及
为L的两个端点),
把L分成n个小弧段
记小弧段
的长度
为
并在
上任取一点
如果极限
存在,

存在,
如果极限
则称此极限为
函数f(x,y)在平面曲线L上对弧长的曲线积分,
记作
即
积分变量
积分弧段
被积表达式
弧长元素
积分和式
曲线形构件的质量
也称第一类曲线积分.
注意:
(1)曲线积分也是一个确定的常数,
它只与被积函
数f(x,y)及积分弧段L有关.
(2) f(x,y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为
(3)若L
分段光滑的
则有
(4)存在条件:
当f(x,y)在光滑曲线弧L上连续时,
对弧长的曲线积分
存在.
(5)物理意义:
是线密度在L上的线积分.
(6)几何意义:
即:高在底L上的线积分.
(7)推广:
函数f(x,y,z)在空间曲线弧
上对弧长的曲线积分为
特别地:
联想:
(2)性质
(4)无向性:
对弧长的曲线积分与曲线的方向无关.
即
思考:
定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?
否!
对弧长的曲线积分要求 ds  0 ,
但定积分中
dx 可能为负.
回忆定积分:
故第一类曲线积分与定积分是有区别的.

(1)定义
设L为xoy面上从点A到点B的一条分段光滑的有
向曲线,
函数
在L上有界.
沿L的方向依次
取分点
把L分成n个有向小弧段
设
并记
为所有
小弧段长度的最大值.
在
上任意取一点
如果极限
存在,
那么这个极限称为
函数
在有向弧段L上对坐标x的曲线积分,
记作