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第五章
定积分
一、基本内容
二、与概念有关的问题
三、定积分的计算方法
四、典型例题与解答
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一、基本内容
总趋于确定的极限 I ,
则称此极限 I 为函数
上的定积分,
即
此时称 f ( x ) 在[ a , b ] 上可积.
:
2
积分上限
积分下限
被积函数
被积表达式
积分变量
积分和
注意:
dx
(1)
区别:
是一个确定的常数.
定与不定的区别?
3
(5)
(3)定积分与区间的分割方法无关,
(4)当函数
在区间
上的定积分存在时,
称
在区间
上可积.
(2)定积分仅与被积函数及积分区间有关,

du
dt
dx.
而与积分变量
的取法无关.
与
曲边梯形面积
变速直线运动的路程
否则称
在区间
上不可积.
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曲边梯形的面积
曲边梯形面积的负值

a
b
x
y
o
a
b
x
y
o
dx
dx
1)
当
时,
A
2)
当
时,
5
3)
当
在[a,b]上有正有负时,
dx
表示各部分
面积的代数和.
即
它是介于x轴、
函数
的图形
及两条直线x=a,x=b之间的各部分面积的代数和.
且
x轴上方的面积取正号;
在x轴下方的面积取负号.
的几何意义:
dx
故
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定理1

函数
在区间
上连续
即
dx
存在.
在区间
上可积.
定理2
且只有有
设函数
在区间
上有界,
限个间断点
则
在区间
上可积.
定理的证明省略,只要求知道结论.
定理3
设函数
在区间
上只有有限个第一类
间断点
则
在区间
上可积.
故改变积分区间内有限个点处的函数值,不影响积分值.
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线性性:
(1)
可加性:
(2)
(3)
dx
则
若
(4)
(性质中涉及到的定积分均存在)
解:
例.
比较积分值
的大小.
(估值定理)
(5)
则
(6)
定积分中值公式
则至少存在一点
使
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说明:
可把
故它是有限个数的平均值概念的推广.
积分中值定理对
因
dx
9


1)以上几个符号存在的条件及概念.
2)在存在的情况下,它们的区别与联系.
的区别:
一个确定的常数
无数个函数
一个函数
一个确定的常数
认识它吗?
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