2009概率论与数理统计试题及答案[统计学经典理论].doc

考研数学冲刺·概率论与数理统计
一、基本概念总结
1、概念网络图
2、最重要的5个概念
(1)古典概型(由比例引入概率)
例1:3男生,3女生,从中挑出4个,问男女相等的概率?
例2:有5个白色珠子和4个黑色珠子,从中任取3个,问其中至少有1个是黑色的概率?
(2)随机变量与随机事件的等价(将事件数字化)
例3:已知甲、乙两箱中装有两种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:
乙箱中次品件数X的数学期望。
从乙箱中任取一件产品是次品的概率。
例4:将一枚均匀硬币连掷三次,以X表示三次试验中出现正面的次数,Y表示出现正面的次数与出现反面的次数的差的绝对值,求(X,Y)的联合分布律。
(3)分布函数(将概率与函数联系起来)
(4)离散与连续的关系

例5:见“数字特征”的公式。
(5)简单随机样本(将概率和统计联系在一起)
样本是由n个同总体分布的个体组成的,相当于n个同分布的随机变量的组合(n维随机变量)。
例6:样本的是已知的,个体(总体)的未知,矩估计:,完成了一个从样本到总体的推断过程。
二、做题的18个口诀(概率15个,统计3个)
1、概率
(1)题干中出现“如果”、“当”、“已知”的,是条件概率。
例7:5把钥匙,只有一把能打开,如果某次打不开就扔掉,问第二次打开的概率?
(2)时间上分两个阶段的,用“全概公式”或者“贝叶斯公式”。
例8:玻璃杯成箱出售,每箱20只,设各箱含0,1,, 。一顾客欲购买一箱玻璃杯,由售货员任取一箱,而顾客开箱随机地察看4只;若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退回。试求:
(1)顾客买此箱玻璃杯的概率;
(2)在顾客买的此箱玻璃杯中,确实没有残次品的概率。
(3)“只知次数,不知位置”是“二项分布”。
例9:抛5次硬币,其中有3次正面朝上的概率?

例10:1对夫妇生4个孩子,2男2女的概率?
(4)“先后不放回取”≡“任取”,是“超几何分布”。
例11:5个球,3红2白,先后不放回取2个,2红的概率?
例12:5个球,3红2白,任取2个,2红的概率?
(5)“先后放回取”是“二项分布”。
例13:5个球,3红2白,先后放回取5个,2红的概率?
(6)求随机变量函数的分布密度,从分布函数的定义入手。
例14:设X的分布函数F(x)是连续函数,证明随机变量Y=F(X)在区间(0,1)上服从均匀分布。
(7)二维随机变量的概率分布从两个事件相交的本质入手。
,。
(8)二维连续型随机变量的边缘分布由画线决定积分的上下限。
例15:设二维连续型随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,其中
求X的边缘密度。
(9)求二维连续型随机变量的函数分布或者某个区域内的概率,由画图计算相交部分(正概率区间和所求区域的交集)的积分。
例16:设随机变量(X,Y)的分布密度为试求U=X-Y的分布密度。
(10)均匀分布用“几何概型”计算。
例17:设随机变量(X,Y)的分布密度为:,试求P(X+Y>1)。
(11)关于独立性:对于离散型随机变量,有零不独立;对于连续型随机变量,密度函数可分离变量并且正概率密度区间为矩形。
(12)二维随机变量的期望E(X)、E(Y)和方差D(X)、D(Y),由边缘分布来求。
例19:设,为两个随机事件,且, , , 令

求(Ⅰ) 二维随机变量的概率分布;
(Ⅱ) 与的相关系数;
(Ⅲ) 的概率分布.
(13)相关系数中的E(XY),对于离散型随机变量,根据XY的一维分布来求;对于连续型随机变量,按照函数的期望来求。
例20: 连续型随机变量:E(XY)=
(14)应用题:设Y为题干中要求期望的随机变量,a为最后题目所求,然后找Y与X的函数关系,再求E(Y)。
例21:市场上对商品需求量为X~U(2000,4000),每售出1吨可得3万元,若售不出而囤积在仓库中则每吨需保养费1万元,问需要组织多少货源,才能使收益的期望最大?
(15)切比雪夫大数定律要求“方差有界”,辛钦大数定律要求“同分布”。
2、统计
(1)似然函数是联合密度或者联合分布律。
连续型:
离散型:
例22:设总体X的概率分别为
其中θ(0<θ<)是未知参数,利用总体X的如下样本值:3, 1, 3, 0, 3, 1, 2, 3
求θ的矩估计值和最大似然估计值。
(2)“无偏”求期望,“有效”求方差,“一致”不管它。
例23:设是总体的一个样本,试证
(1)
(2)
(3)
都是总体均值u的无偏估计,并比较有效性。
(3)标准