概率论讲义 第二章 随机变量及其分布[统计学经典理论].doc

第二章随机变量及其分布
第一节随机变量
1. 为什么引入随机变量?
概率论是从数量上来研究随机现象统计规律性的,为了更方便有力的研究随机现象,就要用数学分析的方法来研究, 因此为了便于数学上的推导和计算,, 就建立起了随机变量的概念.
2. 随机变量的引入
实例1 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色.
实例2 抛掷骰子,观察出现的点数.
二、随机变量的概念
定义设随机试验E的样本空间是S = {e}, X = X (e)是定义在样本空间S 上的实值单值函数, 则我们称X = X (e)为随机变量.

(1)随机变量与普通的函数不同
随机变量是一个函数, 但它与普通的函数有着本质的差别,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的(样本空间的元素不一定是实数).
(2)随机变量的取值具有一定的概率规律
随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因此随机变量的取值也有一定的概率规律.
(3)随机变量与随机事件的关系
: 随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象.
下面我们举几个随机变量的例子:
(1) n次射击命中目标的次数X (或随意抽验n件产品, 其中不合格品的件数), 它有n + 1个可能取值: 0, 1, 2, …, n.
(2) 灯泡寿命X, 可以取[0, +¥)上的任意值.
(3) 测量误差X, 可以取(-¥, +¥)上的任意值.
有了随机变量, 随机试验中的各种事件, 就可以通过随机变量的关系式表达出来.
例如, 从一批产品中任意取出10件, 若用X表示其中的废品数, 这时, {少于2件废品}、{恰有1件废品}两个事件, 就可以分别用{X < 2}、{X = 1}来表示.
又如单位时间内电话交换台接到的呼唤次数用X表示, 此时{接到不少于1次呼唤}、{没有接到呼唤}两个事件, 可以分别用{X ³ 1}、{X = 0}来表示.
再如, 上面(2)中事件{寿命不少于200小时而不超过1000小时}的事件, 就可用{200 £ X £ 1000}来表示.
例1 “掷一颗骰子”是随机现象, 用随机变量X表示出现的点数, 求
(1) X的取值范围; (2) 概率P{X £ 4}及P{X < 4}; (3) 概率P{X > 4}及P{2 £ X < 4}.
引进了随机变量, 就可以通过随机变量来描述随机试验中各种事件, 全面反映试验的情况. 因此, 我们对随机现象统计规律性的研究, 就可以由对事件与事件的概率的研究扩大为对随机变量的研究.
第二节离散型随机变量极其分布律
如果随机变量它所有可能取的值是有限个或可列个值, 则我们就称之为离散型随机变量.
设离散型随机变量X的所有可能取值为xk (k = 0, 1, 2, …), X取各个可能值的概率, 即事件{X = xk}概率为 P{X = xk}= pk, k = 0, 1, 2, …(1)
则我们称(1)式为离散型随机变量X的分布律或概率分布. 分布律也可以用表格的形式来表示:
X
x1
x2
…
xn
…
pk
p1
p2
…
pn
…
由概率的定义, pk满足如下两个条件:
1° 0 £ pk £ 1, k = 0, 1, 2, …; 2° . (2)
注: 凡满足(2)的函数pk一定是某个离散型随机变量的分布律.
例1 (1) 设随机变量X的分布律为, k = 1, 2, 3, 求常数c的值.
(2) 设随机变量X的分布律为, k = 0, 1, 2, …, l > 0, 求常数c的值.
下面介绍三种重要的离散型随机变量.
一、(0 - 1)分布(或两点分布)
设随机变量X只可能取0或1两个值, 它的分布律为, k = 0, 1, (0 < p < 1), 或
X
0
1
pk
1 - p
p
则称X服从(0 - 1)分布.
凡是只有两个结果的试验都可以用(0 - 1)分布来描述.

二、伯努利试验、二项分布
在实践中, 我们经常遇到下列类型的重复试验:
(1) 每次试验的条件都相同, 且试验结果; 只有两个: A及, 且P(A) = p, P() = q = 1 - p (0 < p < 1),
(2) 每次试验的结果(即基本事件)是相互独立的.
我们称之为n重伯努利(Bernoulli)试验, 或伯努利概型.
由于它是一个常见的、十分有用的概型, 所以在这里着重对它进行讨论.
对