初中数学建模案例.doc

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中学数学建模论文指导
中学阶段常见的数学模型有：方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型和统计模型等。我决，对于我们在日常生活中如何使开支与效益到达最优化等问题，具有一定的指导意义。
关键词：饮料 瓶数 空瓶 兑换 优化
一．问题的发现
日常生活中,我们经常遇到过空瓶换汽水问题。喝完了凉爽的汽水还能用空瓶换汽水继续喝，那简直是炎炎夏日里的一种享受。如果没有经历过，则这道小学时的奥林匹克数学题你应该见到过：
现有10 瓶汽水，每三个空瓶可以换一瓶新的汽水。问总共能喝到多少瓶汽水呢.
我曾经问过不少人这道题，他们给的结果通常都是14 瓶〔先喝10 瓶，用9空瓶换来3整瓶，喝3瓶，还有3+1=4 个空瓶。然后用3个空瓶再换一整瓶，喝掉。最后剩下2个空瓶。共10+3+1=14 瓶〕
当我提示他们剩下的两个空瓶仍然能够利用的时候，有些聪明人就给出了正确答案：借来一个装满饮料瓶，喝完后，连同那剩下的两个空瓶一起还给人家。所以共喝了 15 瓶。
这就是这道题的正确答案。
最近我突然想到了这个问题，。
二. 建立数学模型
我列出了原有饮料瓶数和实际能喝到的瓶数的一些数据：
原有饮料瓶数*
实际能喝到的瓶数
1
1
2
3
3
4
4
6
5
7
6
9
7
10
8
12
9
13
10
15
注意观察：看下方整理过的列表
发现什么了吗.
原有饮料瓶数*
实际能喝到的瓶数
2
3
4
6
6
9
8
12
10
15
1
1
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3
4
5
7
7
10
9
13
根据不完全归纳的情况，我得出这样一个重要的规律：
当原有偶数瓶饮料时，。
当原有奇数瓶时，则实际喝到原来 倍瓶数取整数的饮料。
但这只是不完全归纳，如何从正面直接推导呢.
三. 数学模型的分析与问题的解决
又经过我细致的观察，发现：只要是每有两个空瓶，都可以运用文章开头那种“借瓶子〞的方法再喝一瓶饮料。这个发现太重要了。我可以这样处理那些剩余的空瓶：分为两个两个一组，每一组等于一瓶“没有空瓶〞的汽水〔只可以喝，但不能得到空瓶〕。这样就可以正面对待问题了。
当原有瓶数 * 为偶数时：先喝掉*瓶，然后把空瓶分为2 个组，*个正好分完。每组又是一瓶。共喝掉* + * = * 瓶。
当原有瓶数*为奇数时：先喝掉 * 瓶，然后把空瓶分为2个组，每组 〔*－1〕个，还剩一个空瓶，浪费掉。共喝 * +〔*—1〕= *- 瓶。其实取整之后结果是和上述整理过的表格一一对应的。 这正验证了上文中不完全归纳得出的结论。
通过这种思想， 4 个、5 个或更多空瓶换一瓶饮料，又会怎么样呢.
四. 数学模型的进一步推广
现有 * 瓶