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第7章力法
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2 超静定结构的特征
从静力平衡的观点来看，结构的支座反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件加以唯一确定，即有多余未知力；从几何组成的观点来看，超静定结构是有多余约束的几何不变体系。
无多余约束几何不变体系
B
x1
图 7-23
退出
如前所述，用力法计算超静定结构是以多余力作为基本未知量，并根据相应的位移条件来求解多余力；待多余力求出后，即可按静力平衡条件求解其反力和内力。因此，用力法解算超静定结构的关键即在于根据位移条件建立力法方程以求解多余力。下面拟通过一个三次超静定的刚架，来说明如何建立其力法方程。
=
=
+
+
+
FP1
FP2
FP1
FP2
X2
X1
X3
X1
X2
X3
FP1
FP2
Δ11
Δ21
Δ31
Δ22
Δ12
Δ32
Δ33
Δ13
Δ23
Δ1P
Δ2P
Δ3P
B
A
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
图 7-24
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第三节 力法的典型方程
图a示为一个三次超静定刚架，分析此结构时，必须去掉它的三个多余约束。现如去掉固定支座B，并以相应的多余未知力X1，X2和X3代替所去约束的作用，则得图b所示的基本体系。由于原结构在固定支座B处不可能有任何位移，因此，在承受原荷载和全部多余力未知力的基本结构上，也必须保证这样的位移条件，即在点B沿多余力X1，X2和X3 方向的相应位移 Δ1 、Δ2和Δ3都应等于零。
Δ2=0
Δ3=0
Δ1=0
三次超静定刚架的位移条件
根据叠加原理，可进一步将上述位移条件细化为
Δ1=Δ11+Δ12 +Δ13+Δ1P=0
Δ2=Δ21+Δ22+Δ23+Δ2P =0
Δ3=Δ31+Δ32+Δ33+Δ3P =0
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q
q
=
=
+
+
FP1
FP2
FP1
FP2
X2
X1
X3
X1=1
X2=1
X3=1
FP1
FP2
Δ1P
Δ2P
Δ3P
+
21
11
13
31
33
32
23
22
12
(X2×)
(X1×)
(X3×)
A
B
A
A
A
A
A
B
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
B
B
B
B
由下图可知下列关系式：
Δ11=X111
Δ21=X121
Δ31=X131
Δ12=X212
Δ22=X222
Δ32=X232
Δ13=X313
Δ23=X323
Δ33=X133
根据位移互等定理可得：
21=12
13=31
23=32
图 7-25
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将上述关系式代入己细化的位移条件，可得该三次超静定刚架的力法基本方程：
这组方程的物理意义：在基本体系中，由于全部多余力和已知荷载的作用，在去掉多余约束处的位移应等于原结构相应的位移。
对于n次的超静定结构，则有n个多余未知力，而每一多余未知力都对应着一个多余约束，相应地也就有n个已知位移条件。因此，可按此n个位移条件来建立n个方程，从而可解出n个多余未知力。当原结构在多余未知力作用处的位移为零时，这n个方程可写为：
退出
在上列方程组中，主斜线上的系数δii称为主系数或主位移，其他的系数δij则称为副系数或副位移，其最后一项称为ΔiP自由项。所有的系数和自由项都是基本结构中某一多余未知力的作用点在已知力作用下沿其方向上的位移，并规定以与所设多余未知力方向一致的为正。显然，主系数总是正的，且不会等于零，因为它们都代表由于某一个单位力的作用在其本身的方向上所产生的位移。副系数和自由项则可能为正、为负或为零。在主斜线两边对称位置上的两个副系数，根据位移互等定理得知，它们是相等的，即：


上述方程组在组成上具有一定的规律，并具有副系数互等的关系，而且不论哪种类型的结构，也不论静定的基本结构如何选取，只要是n次超静定结构，它们在荷载作用下的力法方程都与上式相同，故称为力法的典型方程。其中各系数和自由项都可按第六章求位移的方法求得。
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系数和自由项求得后，即可解算典型方程求得各多余未知力，然后再按分析静定结构的方法求出原结构的内力。
根据以上所述，用力法计算超静定结构的步骤可归纳如下：
(1)去掉原结构的多余约束得到一个静定的基本结构，并以多余未知力代替
相应多余约束的作用。
(2)根据基本结构在多余未知力和原荷载的共同作用下，在去掉多余约束