《基本不等式》教案.pdf

《基本不等式》教案
教学目标
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教学重、难点
重点：均值不等式定理的证明及应用.
难点：等号成立《基本不等式》教案
教学目标
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教学重、难点
重点：均值不等式定理的证明及应用.
难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧.
教学过程：
一、知识学****br/> 我们已经学过重要不等式a2  b2  2ab(a,b R),为了方便同学们的学****下面将它以
定理的形式给出，并给出证明.
定理1：如果a、b∈R，那么 a2  b2  2ab (当且仅当a＝b时取“＝”号)
证明：因为 a2  b2  2ab  (a  b)2  0, 当且仅当a＝b时等号成立，所以
a2  b2  2ab ，当且仅当a=b时，等号成立.
探究：你能从几何角度解释定理1吗？
如果把实数a，b作为线段长度，那么可以这样来解释定理1：
以a≥-2(课本第5页)，在正方形ABCD中，AB=a；在正方形CEFG中，E
F=+S正方形CEFG=a2+b2.
矩形BCGH和矩形JCDI的长均为a，宽为b，它们面积的和是S矩形形BCGH+S矩形JCDI
=2ab.
矩形BCGH和矩形JCDI的公共部分是正方形JCGK，它的边长等于b，其面积与正方形C
，上述两个矩形面积的和2ab就等于图中阴影部分面积，它不大于正方形ABC
D与正方形CEFG面积的和，即
a2  b2  2ab .
当且仅当a=b时，两个矩形成为两个正方形，阴影部分面积等于正方形ABCD与正方形C
EFG面积的和，即
a2  b2  2ab .
将定理1作简单的恒等变形，就可以得到以下的基本不等式.
a  b
定理2(基本不等式) 如果a，b>0，那么  ab.(当且仅当a＝b时取“＝”号)
2
(老师引导学生完成证明过程)a  b
说明：如果a，b都是正数，我们称 为a，b的算术平均数，称 ab 为a，b的几何
2
平均数，因而，此定理又可叙述为：
两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.
-3(课本第6页)中，CD是Rt△ABC中斜边
AB上的高，OC是斜边AB上的中线，AD=a，BD=，
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