空间点线面试题解析.doc

9 .圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,轴截面的面积等于 392 ,母线与轴的夹角为 45° ,求这个圆台的高、母线长和底面半径. 解: 作出圆台的轴截面如图. 设O′A′=r, ∵一底面周长是另一底面周长的 3 倍, ∴ OA =3r, SA ′= 2r, SA =3 2r, OO ′=2r. 由轴截面的面积为 12 (2r+6r)·2r= 392 ,得 r= 7. 故上底面半径为 7 ,下底面半径为 21 ,高为 14 ,母线长为 14 2. 10 .一个正方体内接于高为 40 cm ,底面半径为 30 cm 的圆锥中,求正方体的棱长. 解: 如图,过正方体的体对角线作圆锥的轴截面,设正方体的棱长为 x, 则 OC = 22 x, ∴ 22 x 30 = 40-x 40 , 解得 x= 120(3 -22), ∴正方体的棱长为 120(3 -2 2 )cm. 15. (12 分) 如图 K36 -5 ,求图中阴影部分绕 AB 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积和体积. 图 K36 -5 15.[ 解答] 由题意知, 所求旋转体的表面积由三部分组成: 圆台下底面、 半球=8π,S 圆台侧= 35π,S 圆台底= 25π, 故所求几何体的表面积为 圆台= 43 ×[π×2 2+ ?π×2 2?×?π×5 2?+π×5 2]= 52π, V 半球= 43 π×2 3× 12 = 163 π. 所以,旋转体的体积为 V 圆台-V 半球= 52π- 163 π= 140 3 π. 10. (2011 · 北京模拟) 某几何体的一条棱长为 7, 在该几何体的正(主) 视图, 这条棱的投影是长为 6 的线段, 在该几何体的侧视图与俯视图中, 这条棱的投影分别是长为 a和b 的线段,求 a+b 的最大值. 解: 如图, 把几何体放到长方体中, 使得长方体的对角线刚好为几何体的已知棱, 设长方体的对角线 A 1C= 7 ,则它的正视图投影长为 A 1B= 6 ,侧视图投影长为 A 1D=a ,俯视图投影长为 A 1C 1=b ,则 a 2+b 2+( 6) 2=2·( 7) 2, 即a 2+b 2=8, 又 a+b2 ≤ a 2+b 22 , ∴a+b≤ +b 的最大值为 4. 11. 如图, 已知圆柱的高为 80 cm , 底面半径为 10 cm , 轴截面上有 P、 Q 两点,且 PA = 40 cm ,B 1Q= 30 cm , 若一只蚂蚁沿着侧面从 P 点爬到 Q点, 问蚂蚁爬过的最短路径是多少? 解: 圆柱侧面沿母线 AA 1 展开, A 1B 1= 12 ·2πr =πr= 10π(cm) . 作 QS ⊥ AA 1于点S,在 Rt△ PQ S中, PS = 80- 40- 30= 10(cm) , QS =A 1B 1= 10π(cm