初中数学比例式证明方法.doc

.. .. O A B Q C D P O AB Q CD P M 第 16讲比例式的证明方法艺术的进步在很大程度上取决于艺术的特征. 为什么人们总是用数和线或由数和线所描述的事物来说明问题呢?这是因为任何概念除了与数和线相对应的这些特征以外,再无其他更重要的特征了.——莱布尼兹知识方法扫描 1. 形如 ab=cd 的乘积式的证明,常化成比例式 a d c b ?。而比例式的证明, 可由题目条件选择平行线分线段成比例定理,相似形的性质或角平分线性质定理来解决。必要时还需引入第三比来转化。 22 a c b d ?,33 a c b d ?,1 abc def ?一类式子的证明,常将其转化为若干比例式之积来解决。如要证明 22 a c b d ?,可先设法证, a c a x b x b d ? ?,二式相乘即可。这里寻找线段 x,是证题的关键。 x y z p q r ? ?一类以分式形式出现的等式的证明,一般是利用比例关系化为分母相同的一组比,然后进行计算,这种方法类似于分式运算中的通分。还有一类形如 1 1 1 a b c ? ?的式子中没有线段的比,可以化为 1 c c a b ? ?的形式来证明。 ab+cd=ef 的等式的证明,常将 e或f 两段中的一段分成两段,如将 f 分为 x+y, 然后设法证明 ab=ex,cd=ey 即可,选择 f 上的分点,是探寻证题思路的关键。 5 .利用比例线段还可以用来证明线段或角的相等,以及证明直线的平行与垂直等,还可以用来计算有关线段长度,及角的度数等. 经典例题解析例 1. (1985 年合肥市初中数学竞赛试题) 如图,在⊙ O 内,弦 AB ∥ CD , QO ⊥ AB 交 BC 于 P,交 AC 延长线于 Q,求证: OP ? OQ=OA 2。证明如图, 连结 PA , OB 。因 AB ∥ CD , QO ⊥ AB , 故∠B OM= ∠A OM= 12 ∠ AOB =∠ ACM ,于是∠ BOP= ∠ PCQ 。又∠ OPB= ∠ CPQ ,于是∠ OPB= ∠Q 。但显然有∠ OPB= ∠ PAO ,于是.. .. ∠ PAO= ∠Q。从而△ POA ∽△ AOQ , OP OA OA OQ ?, OP ? OQ=OA 2。例 2.△ AB C 的三条内角平分线相交于 I,过 I作 DE ⊥ AI, DE交 AB于 D,交 AC 于 : CE BC ID IB? 2 , ∠ DIB =∠ ADI -∠ DBI = (90 °-∠1)-∠2=90°-2 1 ∠ BAC -2 1 ∠ ABC =90°-2 1 (180 °-∠ ACB) =2 1 ∠ ACB =∠3, 同理可证∠ EIC =∠ 2,故有△ IDB ∽△ CIB. ∴ BC IB IB DB ?,即 IB 2= BD ·B C. 同法可证△ CEI ∽△ CIB,∴△ IDB ∽△ CEI , CE ID IE BD ?∵ AI平分∠ DAE, AI⊥ DE, ∴ DI= EI. 故 CE ID ID BD ?即 ID 2= BD · CE. ∴ CE BC CE BD BC BD ID IB???? 2 2例3.(1985 年宁夏回族自治区初中数学竞赛试题)如图,已知 AD是△ABC 的外接圆的直径,由 B,C 分别作 AD 的垂线交 AC 的延长线于 E,交 AB于F,求证: 33 AB AE AC AF ?。 A D B C E F H G证明设 FC , EB 分别交 AD 于H,G。连结 BD , CD 。由射影定理,得 AB 2 =AG ? AD , AC 2 =A H? AD ,于是 22 AB AG AC AH ?………①由CF∥BE,得. AG AB AH AF ?………②易证△AEB ∽△ ABC ,于是 AB AE AC AB ?………③.. .. 由①②③得 33 AB AE AC AF ?。 ABCD 是圆内接四边形,求证: AC ???? BD=AB ???? CD+AD ???? BC 。证明作 DE 交 AC 于E,使∠1= ∠2,因∠3= ∠4,故△ CDE ∽△ DAB ,于是有 CD CE DB AB ?, AB ? CD=DB ? CE 同理可证△ DAE ∽△ CDB , DA AE BD BC ?, DA ? BC=BD ? AE 将上面两式相加,可得 AB ? CD + DA ? BC = DB ? CE + BD ? AE =BD ( CE+AE ) =BD ? AC 。 1 4 3 2 C D