毕业论文-各类积分之间的关系.doc

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撰写人：___________日 期：___________
目 录
言……………………………………………………………………………………………2
……………………………ral; Surface integral;
Newton-Leibniz formula; Green formula; Gauss formula; Stokes formula.
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微积分是数学研究中的重点课题,,定积分、重积分、曲线积分和曲面积分等概念都是通过实际的问题引入,,所有多元函数积分的计算最终都转化为计算定积分[1],所以研究各类积分之间的关系在数学研究中显得尤为重要.

定积分的概念
定义 1[2] 设闭区间上上有个点,依此为
,
,记为
或
小区间的长度为,并记,称为分割的模.
定义2[2] ,任取点,并作和式
.
称此和式为函数在上的一个积分和,也称黎曼和.
定义3[2] 设是定义在上的一个函数,,总存在某一正数,使得对的任何分割,以及在其上任意选取的点集,只要,就有
,
则称函数在区间上可积或黎曼可积；数称为在上的定积分或黎曼积分,记作
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.
其中,称为被积函数,称为积分变量, 称为积分区间,、分别称为这个定积分的下限和上限.
曲线积分的概念
第一型曲线积分
定义4[3] 设为平面上可求长度的曲线段,,它把分成个可求长度的小曲线段,的弧长记为,分割的细度为,
且的值与分割与点的取法无关,则称此极限为在上的第一型曲线积分,记作
.
若为空间可求长曲线段, 为定义在上的函数,则可类似地定义在空间曲线上的第一型曲线积分,并且记作
.
第二型曲线积分
定义 5[3] 设函数与定义在平面有向可求长度曲线:,它把分成个小曲线段
,
,分割的细度
.
又设的分点的坐标为,并记,,在每个小曲线段上任取一点,若极限
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存在,且与分割与点的取法无关,则称此极限为函数,沿有向曲线上的第二型曲线积分,记为
或.
二重积分的概念
设为平面上可求面积的有界闭区域,,这些小区域构成的一个分割,以表示小区域的直径,,作和式
.
称它为函数在上属于分割的一个积分和.
定义 6[3] 设是定义在可求面积的有界闭区域上的函数. 是一个确定的数,若对任给的正数,总存在某个正数,使对于的任何分割,当它的细度时,属于的所有积分和都有
,
则称在上可积,数称为函数在上的二重积分,记作
,
其中称为二重积分的被积函数, ,称为积分变量, 称为积分区域.
曲面积分的概念
第一型曲面积分
类似于第一型曲线积分,当质量分布在某一曲面块(设密度函数在上连续)时,曲面块的质量为
,
其中为曲面块的分割,表示小曲面块的面积, 为中任意一点,为分割的细度,即为诸中的最大直径.
定义7[3] 设是空间中可求面积的曲面,
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做分割,它把分成个小曲面块,以记小曲面块的面积,分割的细度,在上任取一点,若极限
存在,且与