Algebra lineare - Matematica generale.pdf

ALGEBRA LINEARE.

Dato un insieme V≠∅ e potendo definire:

1) Addizione: sommando ad un elemento di V un altro di V si ottiene un altro
elemento di V
2) Moltiplicazione: moltiplicando un elemento di V con uno scalare (un numero
reale) si ottiene un altro elemento di V.

(V, +, -): tale terna è detta SPAZIO VETTORIALE se sono soddisfatte alcune
proprietà. Gli elementi di V prenderanno allora il nome di VETTORI.

Le proprietà da soddisfare riguardo all’addizione sono:

1) Associativa: ∀x, y, z ∈ V (x+y)+z = x+(y+z)
2) Commutativa: ∀x, y ∈ V (x+y) = (y+x)
3) Esistenza dell’elemento neutro: ∃ 0v ∈ V : ∀x ∈ V x+0v = x
4) Esistenza dell’opposto: ∀x ∈ V ∃ y : x+y = 0v

Le proprietà da soddisfare riguardo alla moltiplicazione sono:

1) Associativa: ∀a, b ∈ IR ∀x ∈ V a*(b*x) = (a*b)*x
2) Esistenza dell’elemento neutro: ∀x ∈ V ∃ 1 : x*1 = x
3) Distributiva: ∀a, b ∈ IR ∀x ∈ V (a+b)*x = a*x + b*x

È importante notare che: 0*x = 0
a*0=0

La une all’addizione e alla moltiplicazione è:

1) Distributiva: ∀a ∈ IR ∀x, y ∈ V a*(x+y) = a*x + a*y

L’insieme IR può essere e uno spazio vettoriale: dato a ∈ IR posso
moltiplicare/sommare a con uno scalare, ottenendo un altro numero reale, e valgono
tutte le proprietà sopra elencate.
Ogni numero reale può essere e un vettore che appartiene allo spazio
vettoriale dei numeri reali.

P
La coppia ordinata (x1, y1) individua il punto P, ma ogni punto è caratterizzato da due
coordinate. Ogni punto del piano può essere e un vettore, caratterizzato da
due coordinate.

P1=(x1, y1)
P2=(x2, y2)

ADDIZIONE: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1+x2, y1+y2)
MOLTIPLICAZIONE: a*(x, y) = (ax, ay)

Perché sia uno spazio vettoriale dimostro che valgono le proprietà:


ESISTE L’ELEMENTO NEUTRO: (x, y) + (0, 0) = (x, y)
ESISTE L’OPPOSTO: (x, y) + (-x, -y) = (0, 0)
VALE MUTATIVA: (x1, y1) + (x2, y2) = (x2, y2) + (x1, y1)
……..

IR×IR è uno spazio vettoria