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原始概念和定义的概念
恩格斯在《反杜林论》中曾对古典数学给出一个精辟的论断：“纯数学的对 象是现实世界的空间形式与数量关系，所以是非常现实的材料但是，为了能 够从纯粹的状态中研究这些形式与关系，必须使它们完全脱离自己的内容，把内 容作为无的平 滑、没有厚度、可以任意延展等所占有的空间形式上的特征，抛开了它们所具有 的化学和物理等等性质，抽象出“平面” 面，而是一个抽象化、理想化的思维对象，，人们 对“平面”的认识也不断地深化，更加认清了“平面”的本质属性；
直线有两个点在平面上，则直线上的点都在平面上；
两个平面如果相交，则必交出一条直线；
过不共线的三个点，有且只有一个平面.
此外还有其他属性，这样就把平面和曲面区别开来，“平面”的内涵也就逐
步明确起来.
，球的客观原型总是凸凹不平的，研究这样 十分复杂的曲面体， 理想化的球才可以推出现在的公式，而利用这个理想化的公式可以研究与球相近 似的客观原型，如地球、太阳、足球等的面积和体积，虽然和原型相比会产生一 些误差，但可以获得足够精确的结果.
几何对象都是通过概念的形式表述出来的，公理化几何的概念分为原始概念 和定义概念两种.
1 •原始概念
原始概念是作为研究内容提出的而本身又不加定义的概念.
原始概念包含原始元素（图形）和原始关系两类.
原始元素又名“元名”是组成几何图形的最简单、 始关系又名“元谊”是原始图形间的基本几何关系.
从后面的希尔伯特公理系统纲要中可以看出，该系统的原始概念有：
原始元素：点、直线、平面.
原始关系：结合关系、介于关系、线段合同关系和角合同关系.
希尔伯特对原始概念的选择，既少而精，又足以根据它们定义出其他所有的 概念，这是难能可贵的，可称得上是一个典范的工作.
用公理化方法建立几何体系，为什么要列举一些没有定义的原始概念?每个 概念都加以定义不是更好吗？
实际上，，在 定义一个概念时，必须以某些已知概念为根据，而这些已知概念又要根据它们前 面的已知概念来定义，这样追溯下去是无穷尽的，甚至出现某些概念再没有已知 “无限的回复”最初需要选择少数不加 定义的原始概念作为基础来定义所有其余的概念.
欧几里得在他的《几何原本》中，试图对每个概念都下定义，例如《几何原 本》，出现了“面只有长度和宽度”，“面的界是线”
“平面是与其上的直线看齐的面”等“定义”不仅令人费解， 上这都不能叫做数学定义，而只是借助于其他的概念对“面”和“平面”进行直 观描述罢了.
原始概念没有定义，但它们所具有的属性隐含在公理之中，即通过公理来确 定、来制约，或者说来间接定义.
例如，中学立体几何中，开头给出以下三条公理：
公理1如果一直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个 平面内.
公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公 共直线.
公理3经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
就是规定平面属性、